化归与转化思想【知识要点】1．进一步应用常用的等价转化与不等价转化方法，解决数学问题；2．体验陌生问题熟悉化、复杂问题简单化、抽象问题具体化过程；3．感悟化归与转化思想的普遍存在性。【典型例题精析】例1(1)同学们都知道，在一次考试后，如果按顺序去掉一些高分，那么班级的平均分将降低；反之，如果按顺序去掉一些低分，那么班级的平均分将提高．这两个事实可以用数学语言描述为，若有限数列，满足，则．（结论用数学式子表示）(2)给定，定义乘积为整数的k叫“希望数”，求区间内的所有“希望数”的和．【精析】（1）去掉一些高分即在数列中去掉最后几项，平均分将降低即数列所有项的平均数比去掉后几项后的平均数大。（2）“希望数”实质上就是使为整数的整数k的值．令，则有．进一步转化为，求n的取值，这里的n取2、3、…10．最后转化为求的和．解答：（1）（2）2026．【精评】有许多阅读理解题，给我们的第一印象是耳目一新，求解关键在于将陌生概念转化成熟悉知识，将自然语言转化成数学语言．例2设x、y∈R且3x＋2y＝6x，求x＋y的范围。【精析】从不同角度来考虑：从纯代数角度看，设k＝x＋y，再代入消去y，转化为关于x的方程有实数解时求参数k范围的问题。其中要注意隐含条件，即x的范围。从数形结合角度看，x＋y是方程3x＋2y＝6x所表示曲线上的点到原点的距离的平方。再从已知条件与未知量的结构特征看，利用三角换元也可行。【精解】解法一：由6x－3x＝2y≥0得0≤x≤2。设k＝x＋y，则y＝k－x，代入已知等式得：x－6x＋2k＝0，即k＝－x＋3x，其对称轴为x＝3。由0≤x≤2得k∈[0,4]。所以x＋y的范围是：0≤x＋y≤4。1解法二：由3x＋2y＝6x得(x－1)＋＝1，即表示如图所示椭圆，其一个顶点在坐标原点。x＋y的范围就是椭圆上的点到坐标原点的距离的平方。由图可知最小值是0,距离最大的点是以原点为圆心的圆与椭圆相切的切点。设圆方程为x＋y＝k，代入椭圆中消y得x－6x＋2k＝0。由判别式△＝36－8k＝0得k＝4,所以x＋y的范围是：0≤x＋y≤4。解法三：由3x＋2y＝6x得(x－1)＋＝1，设，则x＋y＝1＋2cosα＋cosα＋sinα＝1＋＋2cosα－cosα＝－cosα＋2cosα＋∈[0,4]所以x＋y的范围是：0≤x＋y≤4。【精评】本题串联了多个知识点，运用了多种解题方法，实现了多角度转化，有助于提高发散思维能力。此题还可以利用均值换元法进行解答。例3.求值：cot10°－4cos10°【精析】本题求值必须解决两方面不和谐因素：一是将函数名化为相同，二是将非特殊角化为特殊角。解法一：cot10°－4cos10°＝－4cos10°＝＝＝＝＝＝＝解法二cot10°－4cos10°＝－4cos10°＝＝＝＝＝＝＝＝解法三cot10°－4cos10°＝－4cos10°＝＝＝＝＝＝＝2【精评】三角函数的化简、求值、证明问题，其恒等变形方向一般有：将切化弦或化同名函数；将不特殊角化特殊角或将不同角化为同角；将不同表达形式化成相同形式（如：高次化一次，分式化整式等）。例4四面体的顶点和各棱的中点，共10个点，在其中取出4个不共面的点，不同的取法有（）种．（A）150（B）147（C）144（D）141【精析】我们考虑4点共面的情况，用间接排除法求解。【精解】从10个点中取出4个点的取法有种，而四点共面的取法可分以下三类：第一类，4个点恰好在四面体的同一面上有种；第二类，4个点恰好是一个平行四边形的顶点有3种（如平行四边形EFHM）；第三类，4个顶点恰为一条棱上的三点和相对棱的中点有6种；所以符合条件的取法数为－3－6＝141种．【精评】该题当然可以用直接法求解，但怎样合理分类令众多考生“雾里看花、不知所措”；现在正难则反，通过分析问题的对立面，使问题变得较为明朗、易解．例5（05年湖北高考题）展开式中整理后的常数项恒为.【精析】三项式的展开，一般是设法转化成二项式来解决，考虑到本题是一个特殊的三项式，我们还可以有一些特殊的转化方法。当然，如果着眼于分式结构，我们还可以想方法把问题转化为求分子的某次方项的系数.【精解】解法一：=()(05，)如果第+1项为常数项，则（0k，kN）则r2k=0r=2k(r、kN)，∴进而求出常数恒为.解法二：==对于二项式中，=只要求出的系数，问题就解决了.3于是，令=5，...
