1.如图,在梯形ABCD中,AB∥CD,∠BCD=90°,且AB=1,BC=2,tan∠ADC=2.(1)求证:DC=BC;(2)E是梯形内一点,F是梯形外一点,且∠EDC=∠FBC,DE=BF,试判断△ECF的形状,并证明你的结论;(3)在(2)的条件下,当BE:CE=1:2,∠BEC=135°时,求sin∠BFE的值.2.如图1,一架长4米的梯子AB斜靠在与地面OM垂直的墙壁ON上,梯子与地面的倾斜角α为.(1)求AO与BO的长;(2)若梯子顶端A沿NO下滑,同时底端B沿OM向右滑行.①如图2,设A点下滑到C点,B点向右滑行到D点,并且AC:BD=2:3,试计算梯子顶端A沿NO下滑多少米;②如图3,当A点下滑到A’点,B点向右滑行到B’点时,梯子AB的中点P也随之运动到P’点.若∠POP’=,试求AA’的长3.已知在Rt△ABC中,∠ABC=90°,∠A=30°,点P在AC上,且∠MPN=90°.当点P为线段AC的中点,点M、N分别在线段AB、BC上时(如图1),过点P作PE⊥AB于点E,PF⊥BC于点F,可证t△PME∽t△PNF,得出PN=3PM.(不需证明)当PC=2PA,点M、N分别在线段AB、BC或其延长线上,如图2、图3这两种情况时,请写出线段PN、PM之间的数量关系,并任选取一给予证明EBFCDA4.操作:在△ABC中,AC=BC=2,∠C=90°,将一块等腰直角三角板的直角顶点放在斜边AB的中点P处,将三角板绕点P旋转,三角板的两直角边分别交射线AC、CB于D、E两点.图1,2,3是旋转三角板得到的图形中的3种情况.研究:(1)三角板绕点P旋转,观察线段PD和PE之间有什么数量关系,并结合图2加以证明;(2)三角板绕点P旋转,△PBE是否能成为等腰三角形?若能,指出所有情况(即写出△PBE为等腰三角形时CE的长);若不能,请说明理由;(3)若将三角板的直角顶点放在斜边AB上的M处,且AM:MB=1:3,和前面一样操作,试问线段MD和ME之间有什么数量关系?并结合图4加以证明.5.在平面直角坐标系中,抛物线过原点O,且与x轴交于另一点A,其顶点为B.孔明同学用一把宽为3cm带刻度的矩形直尺对抛物线进行如下测量:①量得OA=3cm;②把直尺的左边与抛物线的对称轴重合,使得直尺左下端点与抛物线的顶点重合(如图1),测得抛物线与直尺右边的交点C的刻度读数为4.5.请完成下列问题:(1)写出抛物线的对称轴;(2)求抛物线的解析式;(3)将图中的直尺(足够长)沿水平方向向右平移到点A的右边(如图2),直尺的两边交x轴于点H、G,交抛物线于点E、F.求证:S梯形EFGH=16(EF2-9).6.如图1,已知梯形OABC,抛物线分别过点O(0,0)、A(2,0)、B(6,3).(1)直接写出抛物线的对称轴、解析式及顶点M的坐标;(2)将图1中梯形OABC的上下底边所在的直线OA、CB以相同的速度同时向上平移,分别交抛物线于点O1、A1、C1、B1,得到如图2的梯形O1A1B1C1.设梯形O1A1B1C1的面积为S,A1、B1的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2).用含S的代数式表示x2-x1,并求出当S=36时点A1的坐标;(3)在图1中,设点D坐标为(1,3),动点P从点B出发,以每秒1个单位长度的速度沿着线段BC运动,动点Q从点D出发,以与点P相同的速度沿着线段DM运动.P、Q两点同时出发,当点Q到达点M时,P、Q两点同时停止运动.设P、Q两点的运动时间为t,是否存在某一时刻t,使得直线PQ、直线AB、x轴围成的三角形与直线PQ、直线AB、抛物线的对称轴围成的三角形相似?若存在,请求出t的值;若不存在,请说明理由.7.我们把一个半圆与抛物线的一部分合成的封闭图形称为“蛋圆”,如果一条直线与“蛋圆”只有一个交点,那么这条直线叫做“蛋圆”的切线.如图所示,点A、B、C、D分别是“蛋圆”与坐标轴的交点,已知点D的坐标为(0,-3),AB为半圆的直径,半圆圆心M的坐标为(1,0),半圆半径为2.(1)请你求出“蛋圆”抛物线部分的解析式,并写出自变量的取值范围;(2)你能求出经过点C的“蛋圆”切线的解析式吗?试试看;(3)开动脑筋想一想,相信你能求出经过点D的“蛋圆”切线的解析式1.(1)过A作DC的垂线AM交DC于M,则AM=BC=2. tan∠ADC=2,∴.即DC=BC.(2)等腰三角形证明: .∴△DEC≌△BFC.则△ECF是等腰直角三角形.(3)设,则,∴. ,又∴.1sin33kBFEk2.(1)中,∠O=,∠α=∴∠OAB=,又AB=4m∴m.m.(2)设在中,根据勾股定理:...