高中数学人教A版必修5导学案：2.5-第2课时-等比数列的前n项和(二)VIP专享VIP免费

1【自学目标】1.熟练应用等比数列前n项和公式的有关性质解题.2.应用方程的思想方法解决与等比数列前n项和有关的问题．1．等比数列的前n项和的变式(1)等比数列{an}的前n项和为Sn，当公比q≠1时，Sn＝＝＝＝－；当q＝1时，Sn＝(2)当公比q≠1时，等比数列的前n项和公式是Sn＝，它可以变形为Sn＝－·qn＋，设A＝，上式可写成Sn＝.由此可见，非常数列的等比数列的前n项和Sn是由关于n的一个指数式与一个常数的和构成的，而指数式的系数与常数项互为相反数．当公比q＝1时，因为a1≠0，所以Sn＝na1的相应函数是正比例函数(常数项为0的一次函数)．2．等比数列前n项和的性质(1)连续m项的和(如Sm，S2m－Sm，S3m－S2m)不为零，则它们仍构成数列．(注意：q≠－1或m为奇数)(2)Sm＋n＝Sm＋qmSn(q为数列{an}的公比)．(3)若{an}是项数为偶数、公比为q的等比数列，则＝q.[情境导学]上一节我们学习了等比数列的前n项和的公式，那么该公式与相应的函数有怎样的关系？等比数列的前n项和又有怎样的性质？如何利用这些性质解题？这是我们本节研究的主要内容．探究点一等比数列前n项和Sn的函数特征思考1设等比数列{an}的前n项和为Sn，当公比q＝1时，Sn对应怎样的函数？其函数图象又如何？思考2设等比数列{an}的前n项和为Sn，当公比q≠1时，Sn对应怎样的函数？其函数图象2又如何？思考3数列{an}的前n项和Sn构成了一个新的数列：S1，S2，S3，…，Sn，….你能完成这个新数列的递推关系吗？例1设f(n)＝2＋24＋27＋…＋23n＋1(n∈N*)，则f(n)等于()A.(8n－1)B.(8n＋1－1)C.(8n＋2－1)D.(8n＋3－1)跟踪训练1若{an}是等比数列，且前n项和为Sn＝3n－1＋t，则t＝________.探究点二等比数列前n项和的性质思考1等比数列{an}的前n项和为Sn，公比为q，Sm＋n与Sm及Sn有怎样的关系？为什么？思考2在等比数列{an}中，若连续m项的和不等于0，则它们仍组成等比数列．即Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍组成等比数列．怎样证明这个关系？例2已知等比数列前n项，前2n项，前3n项的和分别为Sn，S2n，S3n，求证：S＋S＝Sn(S2n＋S3n)．跟踪训练2在等比数列{an}中，已知Sn＝48，S2n＝60，求S3n.探究点三等差、等比数列前n项和的综合问题例3已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2an－2(n∈N*)，在数列{bn}中，b1＝1，点P(bn，bn＋1)在直线x－y＋2＝0上．(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；(2)记Tn＝a1b1＋a2b2＋…＋anbn，求Tn.3跟踪训练3在等比数列{an}中，an>0(n∈N*)，公比q∈(0,1)，且a1a5＋2a3a5＋a2a8＝25，又a3与a5的等比中项为2.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝log2an，数列{bn}的前n项和为Sn，当＋＋…＋最大时，求n的值．1．一个七层的塔，每层所点的灯的盏数都等于上面一层的2倍，一共点381盏灯，则底层所点灯的盏数是()A．190B．191C．192D．1931＝192.2．已知数列{an}的前n项和Sn＝an－1(a是不为零的常数且a≠1)，则数列{an}()A．一定是等差数列B．一定是等比数列C．或者是等差数列，或者是等比数列D．既非等差数列，也非等比数列3．一个等比数列的前7项和为48，前14项和为60，则前21项和为()A．180B．108C．75D．634．在数列{an}中，an＋1＝can(c为非零常数)，且前n项和为Sn＝3n＋k，则实数k＝________.[呈重点、现规律]1．在利用等比数列前n项和公式时，一定要对公比q＝1或q≠1作出判断；若{an}是等比数列，且an>0，则{lgan}构成等差数列．2．等比数列中用到的数学思想：(1)分类讨论的思想：①利用等比数列前n项和公式时要分公比q＝1和q≠1两种情况讨论；②研究等比数列的单调性时应进行讨论：当a1>0，q>1或a1<0,01或a1>0,00且q≠1)常和指数函数相联系；等比数列前n项和Sn＝(qn－1)(q≠1)．设A＝，则Sn＝A(qn－1)也与指数函数相联系．(3)整体思想：应用等比数列前n项和时，常把qn，当成整体求解．4一、基础过关1．等比数列{an}中，a3＝3S2＋2，a4＝3S3＋2，则公比q等于()A．2B.C．4D.2．设{an}是公比为q的等比数列，Sn是它的前n项和，若{Sn}是等差数列，则q等于()A．1B．0C．1或0D...