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24.1.2-垂直于弦的直径VIP免费

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人教版九年级上册问题:你知道赵州桥吗?它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m,拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m,你能求出赵州桥主桥拱的半径吗?赵州桥主桥拱的半径是多少?由此你能得到圆的什么特性?可以发现:圆是轴对称图形。任何一条直径所在直线都是它的对称轴.不借助任何工具,你能找到圆形纸片的圆心吗?如图,AB是⊙O的一条弦,直径CD⊥AB,垂足为E.你能发现图中有那些相等的线段和弧?为什么?·OABCDE线段:AE=BE弧:AC=BC,AD=BD⌒⌒⌒⌒垂径定理垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧CD⊥AB∵CD是直径,∴AE=BE,⌒⌒AC=BC,⌒⌒AD=BD.·OABCDE符号表示:EDCOAB下列图形是否具备垂径定理的条件?ECOABDOABc是不是是不是OEDCABEDCOABOBCADDOBCAOBAC垂径定理的几个基本图形:CD过圆心CD⊥AB于EAE=BEAC=BCAD=BD1、如图,AB是⊙O的直径,CD为弦,CD⊥AB于E,则下列结论中不成立的是()。A、∠COE=∠DOEB、CE=DEC、OE=AE⌒⌒·OABECDD、BD=BC2、如图,OE⊥AB于E,若⊙O的半径为10cm,OE=6cm,则AB=cm。·OABE解:连接OB,∴AB=2BE∵OEAB⊥RtABC在中22106AE8∴AB=2AE=16cmC163、(课本82页、1)如图,在⊙O中,弦AB的长为8cm,圆心O到AB的距离为3cm,求⊙O的半径。·OABE解:过点O作OE⊥AB于E,连接OA即⊙O的半径为5cm.∴22OAAEOE2243∴在RtAOE中=5cm12AEAB4cm小结:在圆中,解决有关弦的问题时,常需要作“垂直于弦的直径(或从圆心作一条与弦垂直的线段)”作为辅助线。再连接半径。2222ardrd2a这样,把垂径定理和勾股定理结合起来,容易得到半径r,圆心到弦的距离d,弦长a之间的关系式4、(课本82页、2)如图,在⊙O中,AB、AC为互相垂直且相等的两条弦,OD⊥AB于D,OE⊥AC于E,求证四边形ADOE是正方形.D·OABCE证明:OEACODABABAC909090OEAEADODA∴四边形ADOE为矩形,又∵AC=AB1122AEACADAB,∴AE=AD∴四边形ADOE为正方形.5、如图,CD是⊙O的直径,弦AB⊥CD于E,CE=1,AB=10,求直径CD的长。·OABECD解:连接OA,∵CD是直径,OE⊥AB∴设OA=x,则OE=x-1,由勾股定理得x2=52+(x-1)2解得:x=13∴OA=13∴CD=2OA=26即直径CD的长为26.12AEAB5你能利用垂径定理解决求赵州桥拱半径的问题吗?37.4m7.2mABOCD关于弦的问题,常常需要过圆心作弦的垂线段,这是一条非常重要的辅助线。圆心到弦的距离、半径、弦构成直角三角形,便将问题转化为直角三角形的问题。ABOCD解:如图,用AB表示主桥拱,设AB所在的圆的圆心为O,半径为r.经过圆心O作弦AB的垂线OC垂足为D,与AB交于点C,则D是AB的中点,C是AB的中点,CD就是拱高.∴AB=37.4m,CD=7.2m∴AD=1/2AB=18.7m,OD=OC-CD=r-7.2∵222ADODOA∴2222.77.18rr解得r=27.9(m)即主桥拱半径约为27.9m.⌒⌒小结小结运用垂径定理可以解决许多生产、生活实际问题,其中弓形是最常见的图形(如图),则弦a,弦心距d,弓形高h,半径r之间有以下关系:ABCDO2222adrd+h=r垂径定理的应用垂径定理的应用hrd2a1、两条辅助线:半径、圆心到弦的垂线段2、一个Rt△:半径、圆心到弦的垂线段、半弦·OABC3、两个定理:垂径定理、勾股定理课后作业:P87巩固、1

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