24.1.2-垂直于弦的直径VIP专享VIP免费

人教版九年级上册问题:你知道赵州桥吗?它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m,拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？赵州桥主桥拱的半径是多少？由此你能得到圆的什么特性？可以发现：圆是轴对称图形。任何一条直径所在直线都是它的对称轴．不借助任何工具，你能找到圆形纸片的圆心吗?如图,AB是⊙O的一条弦,直径CD⊥AB,垂足为E.你能发现图中有那些相等的线段和弧?为什么?·OABCDE线段:AE=BE弧:AC=BC,AD=BD⌒⌒⌒⌒垂径定理垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧CD⊥AB∵CD是直径，∴AE=BE,⌒⌒AC=BC,⌒⌒AD=BD.·OABCDE符号表示：EDCOAB下列图形是否具备垂径定理的条件？ECOABDOABc是不是是不是OEDCABEDCOABOBCADDOBCAOBAC垂径定理的几个基本图形：CD过圆心CD⊥AB于EAE=BEAC=BCAD=BD1、如图，AB是⊙O的直径，CD为弦，CD⊥AB于E，则下列结论中不成立的是（）。A、∠COE=∠DOEB、CE=DEC、OE=AE⌒⌒·OABECDD、BD=BC2、如图，OE⊥AB于E，若⊙O的半径为10cm,OE=6cm,则AB=cm。·OABE解：连接OB，∴AB=2BE∵OEAB⊥RtABC在中22106AE8∴AB=2AE=16cmC163、（课本82页、1）如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径。·OABE解：过点O作OE⊥AB于E，连接OA即⊙O的半径为5cm.∴22OAAEOE2243∴在RtAOE中=5cm12AEAB4cm小结：在圆中，解决有关弦的问题时，常需要作“垂直于弦的直径（或从圆心作一条与弦垂直的线段）”作为辅助线。再连接半径。2222ardrd2a这样，把垂径定理和勾股定理结合起来，容易得到半径r，圆心到弦的距离d,弦长a之间的关系式4、（课本82页、2）如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求证四边形ADOE是正方形．D·OABCE证明：OEACODABABAC909090OEAEADODA∴四边形ADOE为矩形，又∵AC=AB1122AEACADAB，∴AE=AD∴四边形ADOE为正方形.5、如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于E，CE=1，AB=10，求直径CD的长。·OABECD解：连接OA，∵CD是直径，OE⊥AB∴设OA=x，则OE=x-1，由勾股定理得x2=52+(x-1)2解得：x=13∴OA=13∴CD=2OA=26即直径CD的长为26.12AEAB5你能利用垂径定理解决求赵州桥拱半径的问题吗?37.4m7.2mABOCD关于弦的问题，常常需要过圆心作弦的垂线段，这是一条非常重要的辅助线。圆心到弦的距离、半径、弦构成直角三角形，便将问题转化为直角三角形的问题。ABOCD解：如图，用AB表示主桥拱，设AB所在的圆的圆心为O，半径为r.经过圆心O作弦AB的垂线OC垂足为D，与AB交于点C，则D是AB的中点，C是AB的中点，CD就是拱高.∴AB=37.4m，CD=7.2m∴AD=1/2AB=18.7m，OD=OC-CD=r-7.2∵222ADODOA∴2222.77.18rr解得r=27.9（m）即主桥拱半径约为27.9m.⌒⌒小结小结运用垂径定理可以解决许多生产、生活实际问题，其中弓形是最常见的图形（如图），则弦a，弦心距d，弓形高h，半径r之间有以下关系：ABCDO2222adrd+h=r垂径定理的应用垂径定理的应用hrd2a1、两条辅助线：半径、圆心到弦的垂线段2、一个Rt△：半径、圆心到弦的垂线段、半弦·OABC3、两个定理：垂径定理、勾股定理课后作业：P87巩固、1