2008年振动力学期末考试试题第一题（20分）1、在图示振动系统中，已知：重物C的质量m1，匀质杆AB的质量m2，长为L，匀质轮O的质量m3，弹簧的刚度系数k。当AB杆处于水平时为系统的静平衡位置。试采用能量法求系统微振时的固有频率。解：系统可以简化成单自由度振动系统，以重物C的位移y作为系统的广义坐标，在静平衡位置时y＝0，此时系统的势能为零。AB转角：Ly/系统动能：m1动能：21121ymTm2动能：222222222222)31(21))(31(21)31(2121ymLyLmLmJTm3动能：232232333)21(21))(21(2121ymRyRmJT系统势能：221)21(21)21(ykygmgymV在理想约束的情况下，系统的主动力为有势力，则系统的机械能守恒，因而有：EykgymgymymmmVT2212321)21(2121)2131(21上式求导，得系统的微分方程为：Eymmmky)2131(4321固有频率和周期为：)2131(43210mmmk2、质量为m1的匀质圆盘置于粗糙水平面上，轮缘上绕有不可伸长的细绳并通过定滑轮A连在质量为m2的物块B上；轮心C与刚度系数为k的水平弹簧相连；不计滑轮A，绳及弹簧的质量，系统自弹簧原长位置静止释放。试采用能量法求系统的固有频率。解：系统可以简化成单自由度振动系统，以重物B的位移x作为系统的广义坐标，在静平衡位置时x＝0，此时系统的势能为零。物体B动能：22121xmT轮子与地面接触点为速度瞬心，则轮心速度为xvc21，角速度为xR21，转过的角度为xR21。轮子动能：)83(21)41)(21(21)41(212121212221212212xmxRRmxmJvmTc系统势能：22228)21(21)(2121xkxRRkRkkxVc在理想约束的情况下，系统的主动力为有势力，则系统的机械能守恒，有：ExkxmmVT22218)83(21上式求导得系统的运动微分方程：083221xmmkx固有频率为：210832mmk第二题（20分）1、在图示振动系统中，重物质量为m，外壳质量为2m，每个弹簧的刚度系数均为k。设外壳只能沿铅垂方向运动。采用影响系数方法：（1）以x1和x2为广义坐标，建立系统的微分方程；（2）求系统的固有频率。解：系统为二自由度系统。当x1＝1，x2＝0时，有：k11＝2k，k21＝－2k当x2＝1，x2＝1时，有：k22＝4k，k12＝－2k因此系统刚度矩阵为：xkkkk4222系统质量矩阵为：mm200系统动力学方程为：0042222002121xxkkkkxxmm频率方程为：024222)(Δ22mkkkmk解出系统2个固有频率：mk)22(21，mk)22(222、在图示振动系统中，物体A、B的质量均为m，弹簧的刚度系数均为k，刚杆AD的质量忽略不计，杆水平时为系统的平衡位置。采用影响系数方法，试求：（1）以x1和x2为广义坐标，求系统作微振动的微分方程；（2）系统的固有频率方程。解：系统可以简化为二自由度振动系统，以物体A和B在铅垂方向的位移x1和x2为系统的广义坐标。当x1＝1，x2＝0时，AD转角为L3/1，两个弹簧处的弹性力分别为Lk和Lk2。对D点取力矩平衡，有：kLk91411；另外有kLk21。同理，当x2＝1，x2＝1时，可求得：kLk22，kLk12因此，系统刚度矩阵为：kLkLkLkL914系统质量矩阵为：mm00系统动力学方程为：00914002121xxkLkLkLkLxxmm频率方程为：091422mkLkLkLmkL即：DkL32kL311k11kx1x20523922242LkkmLm第三题（20分）在图示振动系统中，已知：物体的质量m1、m2及弹簧的刚度系数为k1、k2、k3、k4。（1）采用影响系数方法建立系统的振动微分方程；（2）若k1=k3=k4=k0，又k2=2k0，求系统固有频率；（3）取k0=1，m1=8/9，m2=1，系统初始位移条件为x1(0)=9和x2(0)=0，初始速度都为零，采用模态叠加法求系统响应。解：（1）系统可以简化为二自由度振动系统。当x1＝1，x2＝0时，有：k11＝k1+k2+k4，k21＝－k2当x2＝1，x2＝1时，有：k22＝k2+k3，k12＝－k2。因此，系统刚度矩阵为：3222421kkkkkkk系统质量矩阵为：2100mm系统动力学方程为：00002132224212121xxkkkkkkkxxmm（2）当0431kkkk，022kk时，运动微分方程用矩阵表示为：003224002100002121xxkkkkxxmm频率方程为：04)3)(4(20220210kmkmk08)43(202021421kkmmmm求得：)168943(22221212121021mmmmmmmmk)168943(22221212121022mmmmmmmmk2x1x（3）当k0=1，m1=8/9，m2=1时，系统质量阵：10098M系统刚度阵：3224K固有频率为：2321，622主模态矩阵为：112343Φ主质量阵：30023MΦΦMTp主刚度阵：180049KΦΦKTp模态空间初始条件：44)0()0()...
