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用心爱心专心一、选择题1．下列数列极限存在的有（）A．10，10，10，⋯,54,45,32,23B．n为偶数n1nn为奇数n1nnfC.n为偶数1n为奇数n11n．fD.n2．下列数列收敛的有（）A.0.9,0.99,0.999,0.9999,⋯,41,31,131,21,121B．1,1nn1nf.Cn为偶数为奇数n212n212nf.Dnnnn3．下列数收敛于0有（）,0,81,0,41，0,21A．,91,41,71,31,51,21,31B．1,n11nf.Cn为偶数为奇数n1n1nn1nf.D4．数列nx与ny的极限分别为A与B，A≠B，则数列,y,x,y,x,y,x332211的极限为（）A．AB．BC．A+BD．不存在)(yx则发散,y收敛,x5．如果数列nnnnA．可能收敛B．一定收敛C．可能发散D．一定发散)(存在的xflim有定义是在xx6．函数f0xx0A．充要条件B．充分条件C．必要条件D．无关条件7．下列极限存在的有（）2xx1)x(xlimA．121limB．x0xx10xelimC．x1xlimD．2x8．下列变量在给定变化过程中是无穷小量的有（）0x1A．2x0xxsinxB．用心爱心专心x12xxxC．320xx1sin31xxD．29．下列变量在给定变化过程中是无穷大量的有（）x1xxA．320xB．lgxxC．lgx0xe.Dx1)(0.xfaxlim则必有),是(xfa时,10．当xaxＡ．任意函数B．无穷小量C．有界函数D无穷大量11．下列极限正确的是（）x10xelimA．0elimB．x10xx10xelimC．1elimD．x1x则必有,xlim,xflim12．若axaxxgxflimA．ax0xgxflimB．ax0xgxf1limC．axk为非零常数xkflimD．ax)(的值为1x1xsinlim13．21xA．1B．0C．221D．)(处连续的x在xx是f处有定义,x在点xx14．f00Ａ．必要条件B．充分条件C．充分必要条件D．无关的条件)(x1y1时,|x|15．当2A．连续函数B．是有界函数C．有最大值与最小值D．有最大值无最小值二、辨析题1．如果n无限增大时，数列na越来越接近常数A，那么na是否一定收敛于A？2．设在常数A的无论怎样小的ε邻域内都密集着数列na的无穷多个点，那么na是否一定收敛于A？3．有界数列是否一定收敛？无界数列是否一定发散？4．单调数列是否一定收敛？摆动着的数列是否一定发散？用心爱心专心5．如果数列na和nb都发散，问nnnnba、ba和nnba是否一定发散？6．如果na收敛、nb发散，问nnnnba、ba的收敛与发散情况能否确定？7．设,2,1nx21x,1xn1n1，在求nnximl时，有人求解如下：设,Aximlnn对等式n1nx21x，两边取极限，得A=1+2A，于是A=-1所以1ximlnn．有人指出，这个结果是错误的．因为,2,1n1xn，故1ximlnn不可能的．请判断此题解法是否正确．若不正确，请指出错在哪里？8．若,0xgxfimlx且当x时，g(x)有界，则0xfimlx，这一结论正确吗？为什么？三、计算题13xxxxlim6．2x2x1xlim5．hxhxlim4．1x12xxlim3．1x52xxlim2．3x＋２xlim．1242x22x220h221x221x2２x12xxlim14．x13x11lim13．5n3n2n1nlim12．n1n321lim11．2141211lim10．x12x11lim9.45xx86xxlim8．15x6x18xlim7．2x31x3x2nnx2x224x2321x2cos2xlnlim26．sin2xlim25．t1elim24．52xxlim23．xsinxcos2x1lim22．cotxlim21．sin5xsin2xlim20．xtan3xlim19．xsinωxlim18．xarctanxlim17．x1sinxlim16．1x2xlim15．6πx34πxt2t20x0x0x0x0x0xx20x3x用心爱心专心xxxxlim35．1xsinxxlim34．3nn1nnlim33．elim32．xxxxlim31．1xx45xlim30．x11xlim29．x11xlim28．xπ2cossin2xlim27．x3x24nx1x22x1x220x0x4πx四、证明题1．根据数列极限的定义证明．2121l)5(19999.0l)4(1l)3(231213l)2(01l)1(33222xximimananimnnimnimxnnnnn个为常数2．证明当x→0时函数f(x)=|x|的极限为零．3．根据极限定义证明：当0xx时函数f(x)的极限存在的充分必要条件是左极限、右极限各自存在并且相等。1.nn12n11n1lim:4．证明222x参考答案一、选择题1．A，B，D2．A，D3．A，B，C，D4．D5．D6．D7．A8．A，D9．A，B，C，D10．B，C11．B，C，D12．D13．C14．A15．A，B，D二、辨析题1．na不一定收敛于A，问题主要发生在只说na越来越接近常数A，并没说明这种接近的程度如何．如果这种接近受到限制，虽然也可以说越来越接近，但却不能与A构成收敛的关系，只有当说na越来越无限接近常数A时，才表明na是收敛于A的．例如取n1an，A=-1，随着n无限增加，n1越来越接近-1，但它始终保持与-1有大于21的差异，用心爱心专心-1并不能说成是当n→∞时n1的极限．2．na不一定收敛于A．因为极限定义...