极限的求法1极限的求法1、利用极限的定义求极限2、直接代入法求极限3、利用函数的连续性求极限4、利用单调有界原理求极限5、利用极限的四则运算性质求极限6.利用无穷小的性质求极限7、无穷小量分出法求极限8、消去零因子法求极限9、利用拆项法技巧求极限10、换元法求极限11、利用夹逼准则求极限[3]12、利用中值定理求极限13、利用罗必塔法则求极限14、利用定积分求和式的极限15、利用泰勒展开式求极限16、分段函数的极限1、利用极限的定义求极限用定义法证明极限，必须有一先决条件，即事先得知道极限的猜测值A，这种情况一般较困难推测出，只能对一些比较简单的数列或函数推测分析出极限值，然后再去用定义法去证明，在这个过程中，放缩法和含绝对值的不等式总是密切相连的。例：0limxxfxA的ε-δ定义是指：ε＞0，δ=δ(0x，ε)＞0，0＜|x-0x|＜δ|f(x)-A|＜ε为了求δ可先对0x的邻域半径适当限制，如然后适当放大｜f(x)-A｜≤φ(x)(必然保证φ(x)为无穷小)，此时往往要用含绝对值的不等式：｜x+a｜=|(x-0x)+(0x+a)|≤|x-0x|+|0x+a|＜｜0x+a｜+δ1域|x+a|=|(x-0x)+(0x+a)|≥|0x+a|-|x-0x|＞|0x+a|-δ1从φ(x)＜δ2，求出δ2后，取δ＝min(δ1，δ2)，当0＜|x-0x|＜δ时，就有|f(x)-A|＜ε.极限的求法2例：设limnnxa则有12...limnnxxxan.证明：因为limnnxa,对110()NN，,当1nN时，-2nxa于是当1nN时，1212......nnxxxxxxnaann0其中112NAxaxax是一个定数,再由2An，解得2An,故取12max,ANN12...+=22nxxxnNn当时，。2、直接代入法求极限适用于分子、分母的极限不同时为零或不同时为例1.求.分析由于,所以采用直接代入法.解原式=3、利用函数的连续性求极限定理[2]：一切连续函数在其定义区间内的点处都连续，即如果0x是函数)(xf的定义区间内的一点，则有)()(lim00xfxfxx。一切初等函数在其定义域内都是连续的，如果()fx是初等函数，0x是其定义域内一点，则求极限0lim()xxfx时，可把0x代入()fx中计算出函数值，即0lim()xxfx=0()fx。极限的求法3对于连续函数的复合函数有这样的定理：若()ux在0x连续且00()ux，()yfu在0u处连续，则复合函数[()]yfx在0x处也连续，从而limoxxofxfx或limlimxxoxxofxfx。例：2limlnsinxx解：复合函数=2x在处是连续的，即有2limlnsin=lnsinln102xx4、利用单调有界原理求极限这种方法是利用定理:单调有界数列必有极限，先判断极限存在，进而求极限。例：求lim...naaa解：令...nxaaa，则1nnxax，aaa，即1nnxx，所以数列nx单调递增，由单调有界定理知，lim...naaa有限，并设为A，1limlimnnnnxax，即114,2aAaAA=，所以114lim...2naaaa。5、利用极限的四则运算性质求极限定理[1]：若极限0lim()xxfx和0lim()xxgx都存在，则函数)(xf)(xg，)()(xgxf当0xx时也存在且①000lim()()lim()lim()xxxxxxfxgxfxgx②000lim()()lim()lim()xxxxxxfxgxfxgx又若c0，则)()(xgxf在0xx时也存在，且有000lim()()lim()lim()xxxxxxfxfxgxgx.利用该种方法求极限方法简单，但要注意条件是每项或每个因子极限存在，一般情况所给的变量都不满足这个条件，例如出现00，，等情况，都不能直接运用四则运算法则，必须对变量进行变形。变形时经常用到因式分解、有理化的运算以及三角函数的有关公式。极限的求法4总的说来，就是函数的和、差、积、商的极限等于函数极限的和、差、积、商。例：求3131lim11xxx（）解：由于当x1时，331x与11x的极限都不存在，故不能利用“极限的和等于和的极限”这一法则，先可进行化简23322313(1)(1)(2)(2)=111-(1)(1)(1)xxxxxxxxxxxxx这样得到的新函数当1x时，分子分母都有极限且分母的极限不为零，可用商的极限法则，即321131(2)lim=lim=111(1)xxxxxxx（）例2.求11lim2xxx。解11lim2xxx)1(lim)1(lim22xxxx316.利用无穷小的性质求极限我们知道在某一过程中无穷大量的倒数是无穷小量，有界变量乘无穷小是无穷小，对一些特殊的函数而言用其他方法很难求得，只能用这种方法来求。例：求214-7lim32xxxx解：当时1x，分母的极限为零，而分子的极限不为零，可先求处所给函数倒数的极限2132lim=04-7xxxx，故214-7lim=32xxxx。例5．求极限分析因为不存在,不能直接使用运算法则,故必...
