1第03讲平面向量的数量积及应用---讲1.理解平面向量数量积的概念及其意义，了解平面向量的数量积与向量投影的关系.2.掌握平面向量数量积的坐标运算，掌握数量积与两个向量的夹角之间的关系.3.会用坐标表示平面向量的平行与垂直.4.高考预测：（1）以考查向量的数量积、夹角、模、垂直的条件等问题为主，基本稳定为选择题或填空题，难度中等以下；（2）同三角函数、解析几何等知识相结合，以工具的形式出现．5.备考重点：（1）理解数量积的概念是基础，掌握数量积的两种运算的方法是关键；（2）解答与平面几何、三角函数、解析几何等交汇问题时，注意运用数形结合的数学思想，通过建立平面直角坐标系，利用坐标运算解题.知识点1．平面向量的数量积一、两个向量的夹角1．定义已知两个非零向量a和b，作OAuuur＝a，OBuuur＝b，则∠AOB＝θ叫做向量a与b的夹角．2．范围向量夹角θ的范围是0°≤θ≤180°a与b同向时，夹角θ＝0°；a与b反向时，夹角θ＝180°.3．向量垂直如果向量a与b的夹角是90°，则a与b垂直，记作a⊥b.二、平面向量的数量积1．已知两个非零向量a与b，则数量|a||b|·cosθ叫做a与b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a||b|cosθ，其中θ是a与b的夹角．规定0·a＝0.当a⊥b时，θ＝90°，这时a·b＝0.2．a·b的几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积．三、数量积的运算律21．交换律：a·b＝b·a.2．分配律：(a＋b)·c＝a·c＋b·c.3．对λ∈R，λ(a·b)＝(λa)·b＝a·(λb)．【典例1】（2018·天津高考真题（文））在如图的平面图形中，已知,则的值为A．B．C．D．0【答案】C【解析】如图所示，连结MN，由可知点分别为线段上靠近点的三等分点，则，由题意可知：，，结合数量积的运算法则可得：.本题选择C选项.【总结提升】计算向量数量积的三种常用方法(1)定义法：已知向量的模与夹角时，可直接使用数量积的定义求解，即a·b＝|a||b|cosθ(θ是a与b的夹角)．(2)基向量法（利用数量积的几何意义）：计算由基底表示的向量的数量积时，应用相应运算律，最终转化为基向量的数量积，进而求解．3(3)坐标法：若向量选择坐标形式，则向量的数量积可应用坐标的运算形式进行求解．【变式1】（2019·山西省静乐县第一中学高三月考）在ABC中,则BCuuur在CAuuur方向上的投影为（）．A．4B．3C．-4D．5【答案】C【解析】对等式两边平方得，，整理得，0ABACuuuruuur，则ABACuuuruuur，，设向量BCuuur与CAuuur的夹角为，所以，BCuuur在CAuuur方向上的投影为，故选：C.知识点2．平面向量的数量积的性质及运算一、向量数量积的性质1．如果e是单位向量，则a·e＝e·a.2．a⊥ba·b＝0.3．a·a＝|a|2，||=aaa.4．cosθ＝||||abab.(θ为a与b的夹角)5．|a·b|≤|a||b|.二、数量积的坐标运算设a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，则：1．a·b＝a1b1＋a2b2.2．a⊥ba1b1＋a2b2＝0.3．|a|＝a21＋a22.4．cosθ＝||||abab＝.(θ为a与b的夹角)【典例2】（2018·浙江高考真题）已知a，b，e是平面向量，e是单位向量．若非零向量a与e的夹角为，4向量b满足b2-4e·b+3=0，则|a-b|的最小值是（）A．B．C．2D．【答案】A【解析】设，则由得，由得因此的最小值为圆心到直线的距离减去半径1，为选A.【思路点拨】先确定向量所表示的点的轨迹，一个为直线，一个为圆，再根据直线与圆的位置关系求最小值.【变式2】（2019·浙江高三期末）若向量,,abcrrr满足abrr，0cr且，则的最小值是__.【答案】2【解析】设OAauuurr，OBbuuurr，OCcuuurr，由可知CACB，所以点C在以AB为直径的圆上；设2abxrr,2abyrr，则，而cr表示点O到以AB为直径的圆上任一点的距离，所以最大值即是点O到圆心E的距离加半径，即cxyr，所以，即最小值为2.故答案为2.5考点1平面向量数量积的运算【典例3】（2018·全国高考真题（理））已知向量，满足，，则（）A．4B．3C．2D．0【答案】B【解析】因为所以选B.【总结提升】①已知向量a，b的模及夹角θ，利用公式a·b＝|a||b|cosθ求解；②对于向量数量积与线性运算的综合运算问题，可先利用数量积的运算律化简，再进行运算．【变式3】已知向量，则ar在23br方向上的投影为（）A、13B、135...
