浙江省首届高等数学（微积分）竞赛试题(2002.12.7)一、计算题（每小题5分，共30分）1.求极限01coslim(1)(11)xxxex.2.求积分11|1|,{(,)|2,2}22DxydxdyDxyxy.3.设2xyxe是方程hxyaybyce的一个解，求常数,,,abch.4.设()fx连续，且当1x时，20()[()1]2(1)xxxefxftdtx，求()fx.5.设211arctan2nnkSk，求limnnS.6.求积分12121(1)xxxedxx.二、（满分15分）求平面221xyz含在椭圆柱体22149xy内的面积.三、（满分20分）证明：220sin()0xdx.四、（满分20分）设二元函数(,)fxy有一阶连续的偏导数，且(0,1)(1,0)ff.证明：单位圆周上至少存在两点满足方程(,)(,)0yfxyxfxyxy.五、（满分15分）（非数学类做）设{},{}nnab为满足,1nnabneaen的两个实数列，已知0(1)nan，且1nna收敛.证明：1nnnba也收敛.六、（满分15分）（数学类做）设11a，21a，2123nnnaaa，1n，求1nnnax的收敛半径、收敛域及和函数.2003年浙江省大学生高等数学（微积分）竞赛试题（工科类）一、计算题（每小题15分，满分60分）1、求2050sin()limxxxtdtx。2、设31()sinxGxttdt，求10()Gxdx。3、求2401xdxx。4、求21limnnknknk。二、（满分20分）求满足下列性质的曲线C：设000(,)Pxy为曲线22yx上任一点，则由曲线0xx，22yx，2yx所围成区域的面积A与曲线0yy，22yx和C所围成区域的面积B相等。三、（满分20分）求22Lydxxdyxy，其中L：22(1)19xy的上半平面内部分，从点(2,0)到(4,0)。四、（满分20分）证明：2004220031|sin|2003tdt五、（满分15分）设()x在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且(0)0，(1)1。证明：存在(0,1)内两个数,，使123()()。六、（满分15分）从正方形四个顶点1(0,1)P，2(1,1)P，3(1,0)P，4(0,0)P开始构造5P，6P，⋯，使得5P为12PP的中点，6P为23PP的中点，7P为34PP的中点，8P为45PP的中点，⋯，这样，我们得到点列{}nP收敛于正方形内一点0P，试求0P的从标。2009年浙江省大学生高等数学（微积分）竞赛试题一、计算题（每小题12分，满分60分）1、求极限11(2)!lim!nnnnn。2、计算不定积分22ln1(ln1)xdxxx。3、设32()sinfxxx，求(2009)(0)f。4、设g二阶可导，f有二阶连续偏导数，[(,2)]zgxfxyy，求2zxy。5、设f为连续函数，00()()xxxdvfuvxdu，求()x。二、（满分20分）已知极限2120lim11xxxaxbxex，求常数,ab的值。三、（满分20分）设为由抛物面222zxy与平面421xyz围成的立体，其边界的平面部分为1S，曲面部分为2S，0p为2S上的一个点。（1）求以0p为顶点，1S为底面的锥体体积V；（2）求0p，使V达到最大值。四、（满分20分）设f导函数连续，220(,,)()xyRxyzfztdt，曲面S为22zxy被1xy所截的下面部分，内侧，L为S的正向边界，求：223222()[2()](,,)xzfzxydxxyzfzxydyRxyzdz?。五、（满分15分）设1()nnfxxxr，其中0r，（1）证明：()nfx在(0,)内有唯一的零点nx；（2）问r为何值时，级数1nnx收敛？发散？六、（满分15分）设f在[0,)上可导，且()()fxfx，(0)0f，证明：()0(0)fxx。2010年浙江省大学生高等数学（微积分）竞赛试题（工科类）一、计算题（每小题14分，满分70分）1、求极限111lim(1)2nnnnnnnn。2、计算22(1)(22)dxxxx。3、设ABC为锐角三角形，求sinsinsincoscoscosABCABC的最大值和最小值。4、已知分段光滑的简单闭曲线（约当曲线）落在平面：10axbycz上，设在上围成的面积为A，求()()()bzcydxcxazdyaybxdzaxbycz?。5、设f连续，满足220()exp()()xfxxxtftdt，求(1)3(1)ff的值。二、（满分20分）定义数列{}na如下：112a，110max{,}nnaaxdx，2,3,4,nL，求limnna。三、（满分20分）设有圆盘随着时间t的变化，圆盘中心沿曲线L：cosxt，sinyt，2zt（0t）向空间移动，且圆盘面的法向与L的切向一致。若圆盘半径()rt随时间改变，有32()rtt，求在时间10,2内圆盘所扫过的空间体积。四、（满分20分）证明：当0x，221expexp22xtxdtx。五、（满分20分）证明：222tan2sin3xxx，0,2x。2011年浙江省大学生高等数学（微积分）竞赛试题（工科类）一、计算题（每小题14分，满分70分）1、求极限44lim(cos(1)sin2)nnnnnn。2、求2max(1,,,,)nxxxdxL。3、计算220[1]cosxxxdx，其中[]x表示不大于x的最大整数。4、计算31xyxydxdy。5、设球面2222xyzR上曲...
