专题提升二以平行四边形为背景的计算与证明类型一平行四边形相关的探究性问题1．如图，在ABCD中，E、F、G、H分别是各边的中点．则在下列四个图形中，阴影部分的面积与其他三个阴影部分面积不相等的是（）2.如图，四边形ABCD中，ABDC，E，F分别是AD，BC的中点，AF，BE相交于M，DF，EC相交于N，则图中平行四边形共有（）A.3个B.5个C.8个D.9个3.已知：△ABC中，AB=a.如图1，若A1、B1分别是CA、CB的中点，则A1B1=2a；如图2，若A1、A2、B1、B2分别是CA、CB的三等分点，则A1B1+A2B2=312a=a；如图3，若A1、A2、A3、B1、B2、B3分别是CA、CB的四等分点，则A1B1+A2B2+A3B3=4321a=23a；如图4，若A1、A2、A3、⋯A9、B1、B2、B3、⋯B9分别是CA、CB的十等分点，则A1B1+A2B2+A3B3+⋯+A9B9=.4.（1）证明三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半；[要求根据图1写出已知、求证、证明；在证明过程中，至少有两处写出推理依据（“已知”除外）]；（2）如图2，在ABCD中，对角线交点为O，A1、B1、C1、D1分别是OA、OB、OC、OD的中点，A2、B2、C2、D2分别是OA1、OB1、OC1、OD1的中点，⋯以此类推.若ABCD的周长为1，直接用算式表示各平行四边形的周长之和l；（3）借助图形3反映的规律，猜猜l可能是多少？类型二平行四边形相关的折叠问题5.如图，D，E分别为△ABC的AC，BC的中点，将此三角形沿DE折叠，使点C落在AB边上的点P处.若∠CDE=48°，则∠APD等于.6．如图，在ABCD中，点E，F分别在边DC，AB上，DE＝BF，把平行四边形沿直线EF折叠，使得点B，C分别落在点B′，C′处，线段EC′与线段AF交于点G，连结DG，B′G.求证：（1）∠1＝∠2；（2）DG＝B′G.7.如图1，在△OAB中，∠OAB=90°，∠AOB=30°，OB=8．以OB为边，在△OAB外作等边△OBC，D是OB的中点，连结AD并延长交OC于E．（1）求证：四边形ABCE是平行四边形；（2）如图2，将图1中的四边形ABCO折叠，使点C与点A重合，折痕为FG，求OG的长．类型三平行四边形相关的分类讨论问题8.如图，在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别是A（-2，5），B（-3，-1），C（1，-1），在坐标系中找一点D，使得以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，那么点D的坐标是．9．已知：如图，在ABCD中，∠BCD的平分线CE交AD于E，∠ABC的平分线BG交CE于F，交AD于G．（1）试找出图中的等腰三角形，并选择一个加以说明；（2）试说明：AE=DG；（3）若BG将AD分成3∶2的两部分，且AD=10，求ABCD的周长.10.如图，在长方形ABCD中，AD=12，AE=4，BF=6，点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿AD向点D运动；点Q同时以每秒2个单位长度的速度从点C出发，沿CB向点B运动，点Q停止运动时，点P也随之停止运动．当运动时间为几秒时，以点P，Q，E，F为顶点的四边形是平行四边形．11.已知四边形ABCD的对角线AC与BD交于点O，给出下列四个论断：①OA=OC，②AB=CD，③∠BAD=∠DCB，④AD∥BC．请你从中选择两个论断作为条件，以“四边形ABCD为平行四边形”作为结论，完成下列各题：①构造一个真命题，画图并给出证明；②构造一个假命题，举反例加以说明．12.在ABCD中，BC边上的高为4，AB=5，AC=25，求ABCD的周长.参考答案专题提升二以平行四边形为背景的计算与证明1—2.DC3.29a4.（1）已知：在△ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点.求证：DE∥BC且DE=21BC.证明：如图，延长DE至F，使EF=DE， E是AC的中点，∴AE=CE，在△ADE和△CFE中，DE=EF，∠AED=∠CEF，AE=CE，∴△ADE≌△CFE（SAS），∴AD=CF（全等三角形对应边相等），∠A=ECF（全等三角形对应角相等），∴AD∥CF. 点D是AB的中点.∴AD=BD，∴BD=CF且BD∥CF.∴四边形BCFD是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），∴DF∥BC且DF=BC（平行四边形的对边平行且相等）， DE=EF=21DF，∴DE∥BC且DE=21BC.（2） A1、B1、C1、D1分别是OA、OB、OC、OD的中点，∴A1B1=21AB，B1C1=21BC，C1D1=21CD，A1D1=21AD，∴A1B1C1D1的周长=21×1=21，同理可得，A2B2C2D2的周长=21×21=41，A3B3C3D3的周长=21×41=81，⋯，∴各平行四边形的周长之和l=1+21+41+81+⋯.（3）由图可知，21+41+81+⋯=1（无限接近于1），所以l=1+21+...
