第四章琴生不等式一、函数的凹凸性：定义：设连续函数()fx的定义域为(a，b)，如果对于(a，b)内任意两数x1，x2，都有1212()()()22xxfxfxf①则称()fx为(a，b)上的下凸函数．注：1．若把①式的不等号反向，则称这样的()fx为区间(a，b)上的上凸函数．（或凹函数）2．下凸函数的几何意义：过()yfx曲线上的任意两作弦，则弦的中点必在该曲线的上方（或曲线上）．二、琴生不等式：若()fx是区间(a，b)上的凸函数，则对任意的点x1，x2，⋯，xn(a，b)，有12121()[()()()]nnxxxffxfxfxnn取“=”条件：x1=x2=⋯=xn证明：注：更一般的情形：设()fx是定义在区间(a，b)上的函数，如果对于(a，b)上任意两点x1，x2，有1212()()()pfxpfxfpxqx（其中1pqRpq，，），则称()fx是(a，b)上的下凸函数．其推广形式，即加权的琴生不等式：设12121nnqqqRqqq，，，，且，若()fx是区间(a，b)上的下凸函数，则对任意的x1，x2，⋯，xn(a，b)有11221122()()()()nnnnfqxqxqxqfxqfxqfx．取“=”条件：12nxxx说明：以上各不等式反向，即得凹函数的琴生不等式．例1证明：(1)()sinfxx在[0)，上是上凸函数(2)()lggxx在(0)，上是上凸函数(3)()tan)2hxx在[0，上是下凸函数证明：(1)对12[0)xx，，121212121212()()1(sinsin)sincossin()222222fxfxxxxxxxxxxxf(2)对12[0)xx，，+121212lglglglg22xxxxxx即：1212()()()22gxgxxxg．(3)当1202xx，时1212121212121212sinsinsin()2sin()tantancoscoscoscoscos()cos()xxxxxxxxxxxxxxxx1212122sin()2tancos()12xxxxxx（∵sintan1cos2）即：1212()()()22hxhxxxh．例2用琴生不等式证明均值不等式nnAG，即：1212nninaaaaRaaan，则．证：∵iaR设()lgfxx，则()fx为(0)，上的上凸函数由琴生不等式：12121(lglglg)lgnnaaaaaann即1212nnnaaaaaan例3abcR，，，且a+b+c=3，求证：8181819abc．证明：设()81fxx，则()(0)fx为，+上的凹函数．由琴生：1[()()()]()(1)333abcfafbfcff∴()()()9fafbfc．例4()fx定义在(a，b)上，()fx在(a，b)上恒大于0，且对12()xxab，，有21212()()[()]2xxfxfxf．求证：当12()nxxxab，，，时，有1212()()()[()]nnnxxxfxfxfxfn．证明：由题：对12()xxab，，，有21212()()[()]2xxfxfxf，两边取常对：则有1212lg()lg()2lg()2xxfxfxf即1212lg()lg()lg()22fxfxxxf于是：令()lg()gxfx，则()gx为(a，b)上的凸函数由琴生不等式：对12()nxxxab，，，，有1212lg()lg()lg()lg()nnfxfxfxxxxfnn即1212()()()[()]nnnxxxfxfxfxfn．三个重要的不等式强化练习（均值、柯西、排序不等式）1．用柯西不等式证明：若(1)iaRin，求证：21212111()()nnaaanaaa．证：由柯西22222221212111[()()()][()()()]nnaaanaaa．2．设1211inaRinaaa，，且．求证：222221212111(1)()()()nnnaaaaaan证明：由柯西：22221111111111()1[1()][][11]nnnnnniiiiiiiiiiiiiaaaaaaa222111[1](1)nniiiiana∴222111()(1)niiianan．3．设a1，a2，⋯，an是n个互不相等的正整数．证明：32122211112323naaaann．证明：设b1，b2，⋯，bn是a1，a2，⋯，an的一个排序，且b1
