1.设是数域P上线性空间V的线性变换且,证明:（1）的特征值为1或0；（2）1(0)()AV;（3）(0)()VV.2.已知是n维欧氏空间的正交变换，证明：的不变子空间W的正交补W也是的不变子空间．3.已知复系数矩阵A1234012300120001，（1）求矩阵A的行列式因子、不变因子和初等因子；（2）若当标准形.（15分）4.已知二次型22212312323(,,)2332fxxxxxxaxx(0)a通过某个正交变换可化为标准形22212325fyyy，（1）写出二次型对应的矩阵A及A的特征多项式，并确定a的值；（2）求出作用的正交变换.6.设A为n阶方阵，|0WxRAx，|()0WxRAEx证明A为幂等矩阵，则RWW.7.若设W=()(1)0,()[]fxffxRx,证明：W是[]Rx的子空间，并求出W的一组基及维数.8.设V是一个n维欧氏空间，,,,为V中的正交向量组，令(,)0,,1,2,,WVim（1）证明：W是V的一个子空间；（2）证明：,,,WL.9.试求矩阵3100110030534131A的特征多项式、最小多项式.10.在线性空间nP中定义变换：(,,,)(0,,,)xxxxx（1）证明：是P的线性变换.（2）求值域()P及核(0)的基和维数.11.证明二次型22111(,,)()2nnniiiifxxnxxn()是半正定的.12.求的值，使222123412321223134(,,,)()222fxxxxxxxxxxxxxx是正定二次型.（12分）13.设111333222A（1）求A的不变因子.（2）求A的若当标准形.14.设4R的线性变换在标准基下的矩阵为2111121111211112A，（1）求的特征值和特征向量，（2）求4R的一组标准正交基，使在此基下的矩阵为对角矩阵.15.设,,,是四维线性空间V的一组基，线性变换在这组基下的矩阵为1021121312552212A（1）求线性变换的秩，（2）求线性变换核与值域.16.求正交变换使二次型244xxxxxx化为标准形，并判定该二次型是否正定.17.设,,,eee是5维的欧几里得空间5R的一组标准正交基，(,,)VL，其中,,45eeeeeeee，求V的一组标准正交基.18.设()Aa是nn矩阵，其中,1,aijaijij（1）求detA的值；（2）设0WXAX，求W的维数及W的一组基.19.设是线性空间3R上的线性变换，满足(,,),()(,,)xyzRxyyzzx，求在基(0,1,1),(1,0,1),(1,1,0)下的矩阵.20.设是n维线性空间V上的线性变换，,,,是V的一组基.如果是单射，则,,,也是一组基.21.二次型(,,)222fxxxxxxxxx，1）写出二次型f的矩阵A；2）求出A的特征值与特征向量；3）求一正交变换，将f化为标准形.22.求方阵311131022A的不变因子、初等因子和若当标准形.23.设V是n维欧氏空间，n3,给定非零向量V，令(,)::2(,)VV证明：（1）是正交变换；（2）如果,,,,是正交基，则存在不全为零实数,,kkk使得kkk是V上的恒等变换.24.12,VV是120nxxx和10,1,2,,1iixxin的解空间,则PVV.25.设和是线性空间[]Px中依据如下方式定义的两个线性变换：(())()fxfx，(())()fxxfx，求.26.设欧氏空间中有12,,,,n，0．112(,,,)nWL，212(,,,,)nWL，证明：如果(,)0，那么12dimdimWW．27.求实二次型(,,,)2242fxxxxxxxxxxxx的规范形及符号差.（15分）28.设A是一个8阶方阵，它的8个不变因子为1，1，1，1，1，1，1，23(1)(2)(3)，求A的所有的初等因子及A的若当标准形.29.设V为数域P上的n维线性空间，且12(,,,)nVL(1）证明：11212{,,,}n是V的一组基；(2)若V在基12{,,,}n下的坐标为(,1,,21)nn，求在基11212{,,,}n下的坐标.（14分）30.在三维空间3P中，已知线性变换T在基123(1,1,1),(1,0,1),(0,1,1)下的矩阵是101110121，求T在基(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)eee下的矩阵.31.在线性空间nR中，定义(,)xyxAy，21212(,),(,)xxxyyyR，其中2336A。（1）证明：(,)xy是2R的内积，因而2R按此内积构成一个欧氏空间，（2）求2R的一组标准正交基，（3）求矩阵P，使得APP.32.设4R的两个子空间为：112341234,,,0Vxxxxxxxx,212341234(,,,)0Vxxxxxxxx.求12VV与12VV的基与维数.33.设V是3维线性空间，123,,为它的一个基.线性变换:VV，求（1）在基123,,下的矩阵；（2）求核ker和值域Im.34.设V是实数域上所有n阶对称阵所构成的线性空间，对任意,ABV，定义(,)ABtrAB，其中trAB表示AB的迹.（1）证明：V构成一欧氏空间；（2）求使0trA的子空间S的维数；（3）求S的正交补S的维数.35.试找出全体实2级矩阵2()MR所构成的线性空间到4R的一个线性同构.36.求由向量(1,2,1,0),(1,1,1,1)生成的子空间1V与由向量(2,1,0,1),(1,1,3,7)...
