立体几何中的折叠问题、最值问题和探索分析VIP专享VIP免费

普通高等学校招生全国统一考试新课程标准数学科考试大纲指出，通过考试，让学生提高多种能力，其中空间想象能力是对空间形式的观察、分析、抽象的能力．要在立体几何学习中形成．纵观近几年全国及各省高考试题，对立体几何中的折叠问题、最值问题和探索性问题的考查逐年加重，要求学生要有较强的空间想象力和准确的计算运算能力，才能顺利解答．从实际教学和考试来看，学生对这类题看到就头疼．分析原因，首先是学生的空间想象力较弱，其次是学生对这类问题没有形成解题的模式和套路，以至于遇到类似的题目便产生畏惧心理．本文就高中阶段学习和考试出现这类问题加以总结的探讨．1立体几何中的折叠问题折叠与展开问题是立体几何的两个重要问题，这两种方式的转变正是空间几何与平面几何问题转化的集中体现。处理这类题型的关键是抓住两图的特征关系。折叠问题是立体几何的一类典型问题是实践能力与创新能力考查的好素材。解答折叠问题的关键在于画好折叠前后的平面图形与立体图形，并弄清折叠前后哪些发生了变化，哪些没有发生变化。这些未变化的已知条件都是我们分析问题和解决问题的依据。而表面展开问题是折叠问题的逆向思维、逆过程，一般地，涉及到多面体表面的问题，解题时不妨将它展开成平面图形试一试。例１【广东省广州市海珠区2014届高三上学期综合测试二】如图5，已知矩形ABCD中，10AB，6BC，将矩形沿对角线BD把ABD折起，使A移到1A点，且1A在平面BCD上的射影O恰好在CD上.（1）求证：1BCAD；（2）求证：平面1ABC平面1ABD；（3）求二面角1ABDC的余弦值点评：折叠问题是考查学生空间想象能力的较好载体。如本题，不仅要求学生象解常规立几综合题一样懂2立体几何中的最值问题结合近年来全国各省市的高考中，考查与空间图形有关的线段、角、距离、面积、体积等最值问题常常在高考试题中出现．在解决此类问题时，通常应注意分析题目中所有的条件，首先应该在充分理解题意的基础上，分析是否能用公理与定义直接解决题中问题;如果不能，再看是否可将问题条件转化为函数，若能写出确定的表意函数，则可用建立函数法求解;再不能，则要考虑其中是否存在不等关系，看是否能运用解等不式法求解;还不行则应考虑是否可将其体图展开成平面，这样依次顺序思考，基本可以找到解题的途径例２正ABC的边长为a，沿BC的平行线PQ折叠，使平面PQA平面BCQP，求四棱锥的棱BA取得最小值时，四棱锥BCQPA的体积.即当ax43时，aBA410min3立体几何中的探索性问题探究性问题常常是条件不完备的情况下探讨某些结论能否成立，立体几何中的探究性问题既能够考查学生的空间想象能力，又可以考查学生的意志力及探究的能力．近几年高考中立体几何试题不断出现了一些具有探索性、开放性的试题．内容涉及异面直线所成的角，直线与平面所成的角，二面角，平行与垂直等方面，对于这类问题一般可用综合推理的方法、分析法、特殊化法和向量法来解决．一般此类立体几何问题描述的是动态的过程，结果具有不唯一性或者隐藏性，往往需要耐心尝试及等价转化，因此，对于常见的探究方法的总结和探究能力的锻炼是必不可少的．3.1对命题条件的探索探索条件，即探索能使结论成立的条件是什么．对命题条件的探索常采用以下三种方法：1、先猜后证，即先观察与尝试给出条件再给出证明;2、先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件，再证明充分性;3、把几何问题转化为代数问题，探索出命题成立的条件．例3【湖北省八校联考】如图，在直三棱柱111ABCABC中，底面△ABC为等腰直角三角形，90ABC，D为棱1BB上一点，且平面1DAC⊥平面11AACC.(Ⅰ)求证：D为棱1BB的中点；（Ⅱ）ABAA1为何值时，二面角1AADC的平面角为60.3.2对命题结论的探索探索结论，即在给定的条件下命题的结论是什么．对命题结论的探索，常从条件出发，探索出要求的结论是什么，另外还有探索的结论是否存在．求解时，常假设结论存在，再寻找与条件相容还是矛盾的结论．例4【江西省2014届新课程高三第三次适应性测试】（如图1）在平面四边形ACPE中，D为AC中点，2ADDCPD，1AE，且,AEACPDAC，现沿PD折起使090ADC，得到立体图形（如图2），又B为平面ADC内一点，并且ABCD为...