实用标准文案精彩文档立体几何经典例题剖析考点一空间向量及其运算1.已知,,ABC三点不共线，对平面外任一点，满足条件122555OPOAOBOC，试判断：点P与,,ABC是否一定共面？解析：要判断点P与,,ABC是否一定共面，即是要判断是否存在有序实数对,xy使APxAByAC或对空间任一点O，有OPOAxAByAC。答案：由题意：522OPOAOBOC，∴()2()2()OPOAOBOPOCOP，∴22APPBPC，即22PAPBPC，所以，点P与,,ABC共面．点评：在用共面向量定理及其推论的充要条件进行向量共面判断的时候，首先要选择恰当的充要条件形式，然后对照形式将已知条件进行转化运算．2.如图，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在平面互相垂直，点M，N分别在对角线BD，AE上，且13BMBD，13ANAE．求证：//MN平面CDE．解析：要证明//MN平面CDE，只要证明向量NM可以用平面CDE内的两个不共线的向量DE和DC线性表示．答案:证明：如图，因为M在BD上，且13BMBD，所以111333MBDBDAAB．同理1133ANADDE，又CDBAAB，所以MNMBBAAN1111()()3333DAABBAADDE2133BADE2133CDDE．又CD与DE不共线，根据共面向量定理，可知MN，CD，DE共面．由于MN不在平面CDE内，所以//MN平面CDE．点评：空间任意的两向量都是共面的．与空间的任两条直线不一定共面要区别开.考点二证明空间线面平行与垂直3.如图,在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AA1＝4，点D是AB的中点，（I）求证：AC⊥BC1；（II）求证：AC1//平面CDB1；解析：（1）证明线线垂直方法有两类：一是通过三垂线定理或逆定理证明，二是通过线面垂直来证明线线垂直；（2）证明线面平行也有两类：一是通过线线平行得到线面平行，二是通过面面平行得到线面平行.答案:解法一：（I）直三棱柱ABC－A1B1C1，底面三边长AC=3，BC=4AB=5，∴AC⊥BC，且BC1在平面ABC内的射影为BC，∴AC⊥BC1；（II）设CB1与C1B的交点为E，连结DE， D是AB的中点，E是BC1的中点，∴DE//AC1， DE平面CDB1，AC1平面CDB1，ABCABCExyz实用标准文案精彩文档转化转化∴AC1//平面CDB1；解法二： 直三棱柱ABC－A1B1C1底面三边长AC＝3，BC＝4，AB＝5，∴AC、BC、C1C两两垂直，如图，以C为坐标原点，直线CA、CB、C1C分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则C（0,0，0），A（3,0，0），C1（0,0，4），B（0,4，0），B1（0,4，4），D（23，2,0）（1） AC＝（－3,0，0），1BC＝（0，－4,0），∴AC?1BC＝0，∴AC⊥BC1.（2）设CB1与C1B的交战为E，则E（0,2，2）. DE＝（－23，0,2），1AC＝（－3,0，4），∴121ACDE，∴DE∥AC1.点评：2．平行问题的转化：面面平行线面平行线线平行；主要依据是有关的定义及判定定理和性质定理4.（2007武汉3月）如图所示，四棱锥P—ABCD中，ABAD，CDAD，PA底面ABCD，PA=AD=CD=2AB=2，M为PC的中点。(1)求证：BM∥平面PAD；(2)在侧面PAD内找一点N，使MN平面PBD；(3)求直线PC与平面PBD所成角的正弦。解析：本小题考查直线与平面平行，直线与平面垂直，二面角等基础知识，考查空间想象能力和推理论证能力.答案：（1）M是PC的中点，取PD的中点E，则MECD21，又ABCD21四边形ABME为平行四边形BM∥EA，PADBM平面PADEA平面BM∥PAD平面（4分）（2）以A为原点，以AB、AD、AP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图，则)0,0,1B，0,2,2C，0,2,0D，2,0,0P，1,1,1M，1,1,0E在平面PAD内设zyN,,0，1,1,1zyMN，2,0,1PB，0,2,1DB由PBMN0221zPBMN21z由DBMN0221yDBMN21y21,21,0NN是AE的中点，此时BDMNP平面（8分）（3）设直线PC与平面PBD所成的角为实用标准文案精彩文档2,2,2PC，21,21,1MN，设MNPC,为3226322cosMNPCMNPC32cossin故直线PC与平面PBD所成角的正弦为32（12分）解法二：（1）M是PC的中点，取PD的中点E，则MECD21，又ABCD21四边形ABME为平行四边形BM∥EA，PADBM平面PADEA平面BM∥PAD平面（4分）（2）由（1）知ABME为平行四边形ABCDPA底面ABPA，又ADABPADAB平面同理PADCD平面，PAD平面AEAEABABME为矩形CD∥ME，PDCD，又AEPDPDMEABME平面PDPBDPD平面ABMEPBD平面平面作EBMF故PBD平面MFMF交AE于N，在矩形ABME内，1MEAB，2AE32MF，22NEN为AE的中点当点N为AE的中点时，BDMNP平面（8分）（3）由（2）知MF为点M到平面PBD的距离，MPF...
