近世代数基础 第三章 环与域VIP专享VIP免费

1第三章环与域本章主要讨论两种代数系统，在高代中看到了，全体整数作一个环，全体有理数，全体实数或全体复数都作一个域，由此可见，环与域这两个概念的重要性。§加群、环的意义•课时安排约课时•教学内容本书定义：一个交换群叫做一个加群，假如我们把这个群的代数运算叫做加法，并且用符号在群中有零元、负元定义：一个集叫做一个环，假如：、是一个加群；‘、对乘法运算封闭、适合结合律、两个分配律成立•教学重点加群和环的定义•教学难点环的运算性质的证明•教学要求了解加群和环的关系•布置作业•精选习题§交换律、单位元、零因子、整环•课时安排约课时•教学内容本书定义：一个环叫做一个交环环，假如不管是的哪两个元定义：一个环的一个元叫做一个单位元。假如对的任意元来说，都有:例：书上定义：一个有单位元环的一个元叫做的一个逆元。假如：例：定义：若是在一个环里工，工，但则是环的一个左零因子，是一个右零因子。例：定理：在一个没有零因子的环里两个消去律都成立。反之也成立推论：在一个环里如果有一个消去律成立，那么另一个消去律也成立定义：一个环叫做一个整环，假如：2、乘法适合交换律：；、有单位元：、没有零因子：或•教学重点交换环、整环、单位元、零因子•教学难点剩余类环和定理的证明•教学要求掌握以上内容•布置作业，，•精选习题，§除环、域•课时安排约课时•教学内容例：例：定义：一个环叫做一个除环，假如：、至少包含一个不等于零的元；、有一个单位元；、的每一个不等于零的元有一个逆元。定义：一个交换除环叫做一个域。例：为了上述内容的关系看得更清楚，注意如下列表环交换环有单位元环无零因子环整环除环I域•教学重点除环和域•教学难点它们之间的关系•教学要求正确理解上述表•布置作业，，•精选习题，§无零因子环的特征•课时安排约课时•教学内容例：例：定理：在一个没有零因子的环里所有不等于零的元对于加法来说的阶都是一样的。3定义：一个无零因子环的非零元的相同的阶叫做环的特征。定理：如果无零因子环的特征是有限整数，那么是一个素数。•教学重点特征•教学难点两个定理的证明过程•教学要求掌握本节内容•布置作业•教学辅导，，§.子环、环的同态•课时安排约课时•教学内容定义：一个环的一个子集叫做的一个子环，假如本身对的代数运算来说作成一个环。例：例：定理：若是存在一个到的满射，使得与对于一对加法以及一乘法来说都同态,那么也是一个环。定理：假定和是两个环，并且与同态，那么，一的零元的象是的零元，的元a的负元的象是a的象的负元，并且，假如是交换环，那么也是交换环，假如有单位元，那么也有单位元，而且是的象。定理：假定同是两个环，并且今，那么，若一是整环，也是整环，是除环,也是除环，是域，也是域。引理：定理：假定是环的子环，在里的补足集合与另一个环没有共同元，并且9,那么存在一个同构的环，而且是的子环。•教学重点同态和同构定理•教学难点引理和定理的证明•教学要求理解同构、同态思想•布置作业，，•教学辅导，，§.多项式环•课时安排约课时•教学内容定义：一个可以写成a+a*+・...+a*aW，三的整数形式的的元叫做上的*的一个多项式。a叫做多项式的系数定义：*叫做上的*的多项式环。定义：的一个元叫做上的一个未定元,假如在里找不到不都等于零的元a,a,・・・.a来，使得aax+….+axn+n定义：令aax+・・・.+axn,aM+nn4是环上的一个一元多项式，那么非负整数n叫做这个多项式的次数，多项式没有次数。定理：给了一个有单位元的交换环，一定有上的未定元X存在，即上的多项式环存在。定义：一个有工aii…匚*i*i…心讪的形式的元叫做上的*,*,•••*的一个多nnn项式；ai..i叫做多项式的系数。n定义：的n个元X,X…,Xn叫做上的无关未定元，假如任何一个上的X,X,…,Xn的多项式都不会等于零，除非这个多项式的所有系数都等于零。定理：给了一个有单位元的交换环同一个正整数n,—定有上的无关未定元X，X，-Xn存在，因此，上的多项式环，XX,-Xn］也存在。定理：假定，XX,-Xn］和*,*,…*n］都是有单位元的交换环上的多项式环X,X,-^Xn是上的无关未定元，*,*，…*n是上...