【精品课件】132函数的极值与导数VIP免费

1.3.2函数的极值与导数判断函数单调性的常用方法：（1）定义法（2）导数法f`(x)>0增函数f`(x)<0减函数1)如果恒有f′(x)>0，那么y=f（x)在这个区间（a,b)内单调递增；2)如果恒有f′(x)<0，那么y=f（x）在这个区间(a,b)内单调递减。一般地，函数y＝f（x）在某个区间(a,b)内知识回顾注、单调区间不以“并集”出现。利用导数讨论函数单调的步骤:(2)求导数).(xf(3)解不等式组得f(x)的单调递增区间;解不等式组得f(x)的单调递减区间.=()yfx(1)求的定义域DDx0(x)f'Dx0(x)f'thaoh’(a)=0单调递增h’(t)>0单调递减h’(t)<0观察高台跳水运动图象探究、如图，函数y=f(x)在a,b,d,e,f,g,h,i等点的函数值与这些点附近的函数值有什么关系？y=f(x)在这些点的导数值是多少？在这些点附近，y=f(x)的导数的符号有什么规律？abcdefoghijxyy=f(x)y=f(x)2)函数y=f(x)在x=b处的函数值f(b)比它在点x=b附近其它各点的函数值都大，我们就说f(b)是函数的一个极大值，点b叫做极大值点．函数极值的定义——4)极大值与极小值统称为极值.1)函数y=f(x)在x=a处的函数值f(a)比它在点x=a附近其它各点的函数值都小，我们就说f(a)是函数的一个极小值.点a叫做极小值点．3)产生极大值点,极小值点统称为极值点.baf(a)f(b)1、在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量(x)的值，极值指的是函数值(y)。注意2、极值是一个局部概念，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小,并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小。即:极大值不一定等于最大值,极小值不一定等于最小值.3、函数的极值不是唯一的即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个。4、极大值与极小值之间无确定的大小关系即一个函数的极大值未必大于极小值，如下图所示，是极大值点，是极小值点，而1x4x41()()fxfx解：当x变化时，y′，y的变化情况如下表例1：求的极值31443yxx321'(44)'4(2)(2)3yxxxxx令y′=0，解得x1=－2，x2=228343x(-∞,-2)-2(-2,2)2(2,+∞)+0－0+↗极大值↘极小值↗283∴当x=－2时，y有极大值且y极大值=当x=2时，y有极小值且y极小值=43)(xf)(xf28343x(-∞,-2)-2(-2,2)2(2,+∞)+0－0+↗极大值↘极小值↗)(xf)(xf探索思考:导数值为0的点一定是函数的极值点吗?可导函数的极值点一定是它导数为零的点,反之函数的导数为零的点,不一定是该函数的极值点.例如,函数y=x3,在点x=0处的导数为零,但它不是极值点,原因是函数在点x=0处左右两侧的导数都大于零.因此导数为零的点仅是该点为极值点的必要条件,其充分条件是在这点两侧的导数异号.一般地,求函数y=f(x)的极值的方法是:(1):如果在x0附近的左侧f/(x)>0右侧f/(x)<0,那么f(x0)是极大值;(2):如果在x0附近的左侧f/(x)<0右侧f/(x)>0,那么f(x0)是极小值.解方程f/(x)=0.当f/(x)=0时:例2:下列函数中，x=0是极值点的函数是()A.y=－x3B.y=x2C.y=x2－xD.y=1/x分析：做这题需要按求极值的三个步骤，一个一个求出来吗？不需要，因为它只要判断x=0是否是极值点，只要看x=0点两侧的导数是否异号就可以了。B练习求下列函数的极值:;27)()2(;26)()1(32xxxfxxxf.3)()4(;126)()3(33xxxfxxxf解:,112)()1(xxf令解得列表:,0)(xf.121xx0f(x)()fx+单调递增单调递减–)121,(),121(1212449所以,当时,f(x)有极小值121x.2449)121(f求下列函数的极值:;27)()2(;26)()1(32xxxfxxxf.3)()4(;126)()3(33xxxfxxxf解:,0273)()2(2xxf令解得列表:.3,321xxx(–∞,–3)–3(–3,3)3(3,+∞)00f(x)–()fx++单调递增单调递减单调递增5454所以,当x=–3时,f(x)有极大值54;当x=3时,f(x)有极小值–54.练习求下列函数的极值:;27)()2(;26)()1(32xxxfxxxf.3)()4(;126)()3(33xxxfxxxf解:,0312)()3(2xxf令解得.2,221xx所以,当x=–2时,f(x)有极小值–10;当x=2时,f(x)有极大值22.,033)()4(2xxf令解得.1,121xx所以,当x=–1时,f(x)有极小值–2;当x=1时,f(x)有极大值2.练习例3已知实数a≠0,函数f(x)=ax(x-2)2(xR)∈有极大值32.(1)求实数a的值;(2)求函数f(x)的单调区间.(1)a=27(2)增区间减区间2(,),(2,)32(,2)3(1)求导函数f`(x)；(2)求解方程f`(x)=0；(3)检查f`(x)在方程f`(x)=0的根的左右的符号，并根据符号确定极大值与极小值.口诀：左负右正为极小，左正右负为极大。用导数法求解函数极值的步骤：小结作业P32A组45