第二章基本初等函数VIP免费

点击进入相应模块第二章章末总结1.指数、对数的运算应遵循的原则指数式的运算首先注意化简顺序，一般负指数先转化成正指数，根式化为分数指数幂运算，其次若出现分式则要注意分子、分母因式分解以达到约分的目的.对数运算首先注意公式应用过程中范围的变化，前后要等价，熟练地运用对数的三个运算性质并结合对数恒等式，换底公式是对数计算、化简、证明常用的技巧.关于指数、对数的运算【名师指津】2.对于底数相同的对数式的化简，常用的方法是(1)“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数.(2)“拆”，将积(商)的对数拆成对数的和(差).【特别提醒】在运用对数的运算性质进行运算时，特别注意真数的变化和运算符号，以及公式运用过程中范围的变化.【审题指导】第(1)题关于分数指数幂的运算，要把握分数指数幂的运算性质，要注意运算顺序.第(2)题关于常用对数的运算，对于底数相同的对数式的化简，要将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数.【规范解答】(1)原式=数的大小比较常用方法(1)比较两数(式)或几个数(式)大小问题是本章的一个重要题型，主要考查幂函数、指数函数、对数函数图象与性质的应用及差值比较法与商值比较法的应用.常用的方法有单调性法、图象法、中间搭桥法、作差法、作商法.数的大小比较【名师指津】(2)当需要比较大小的两个实数均是指数幂或对数式时，可将其看成某个指数函数、对数函数或幂函数的函数值，然后利用该函数的单调性比较.(3)比较多个数的大小时，先利用“0”和“1”作为分界点，即把它们分为“小于0”，“大于等于0小于等于1”，“大于1”三部分，然后再在各部分内利用函数的性质比较大小.【例2】比较下列各组数的大小.(1)27,82；(2)log0.22,log0.049;(3)a1.2,a1.3;(4)0.213,0.233.【审题指导】本题是关于指数式与指数式或对数式与对数式比较大小，可先尽量化为同底的指数式或对数式，再利用指数、对数函数的单调性比较大小.【规范解答】(1) 82=(23)2=26,由指数函数y=2x在R上单调递增知26<27即82<27.(2)又 y=log0.2x在(0，+∞)上单调递减，∴log0.22>log0.23,即log0.22>log0.049.20.040.22lg9lg32lg3lg3log9=====log3.lg0.04lg0.22lg0.2lg0.2(3)因为函数y=ax(a>0且a≠1)当底数a大于1时在R上是增函数；当底数a小于1时在R上是减函数，而1.2<1.3,故当a>1时，有a1.2a1.3.(4) y=x3在R上是增函数，且0.21<0.23，∴0.213<0.233.复合函数的单调性判断与指数(对数)函数有关的复合函数的单调性的方法一般用复合法，若两个函数都是增函数或都是减函数，则其复合函数是增函数；如果两个函数中一增一减，则其复合函数是减函数，即“同增异减”但一定要注意考虑复合函数的定义域.判断复合函数的单调性【名师指津】【例3】已知a>0,且a≠1，试讨论函数的单调性.【审题指导】这是一道与指数函数有关的复合函数的单调性问题，将指数设为关于x的函数，即设u=x2+6x+17，而f(x)的单调性又与01两种范围有关，故应分类讨论.2x+6x+17f(x)=a【规范解答】设u=x2+6x+17=(x+3)2+8,则当x≤-3时，其为减函数，当x≥-3时，其为增函数，又当a>1时，y=au是增函数，当01时，原函数在(-∞,-3］上是减函数，在［-3,+∞)上是增函数.当00,a≠1)，对数函数y=logax(a>0,a≠1,x>0)的图象和性质都与a的取值有密切的联系.a变化时，函数的图象和性质也随之改变.幂函数、指数函数、对数函数性质的综合应用【名师指津】(2)指数函数y=ax(a>0,a≠1)的图象恒过定点(0，1)，对数函数y=logax(a>0,a≠1,x>0)的图象恒过定点(1，0).(3)指数函数y=ax(a>0,a≠1)与对数函数y=logax(a>0,a≠1,x>0)具有相同的单调性.(4)指数函数y=ax(a>0,a≠1)与对数函y=logax(a>0,a≠1,x>0)互为反函数，两函数图象关于直线y=x对称.【例4】已知函数f(x)=lg(1+x)+lg(1-x)(1)判断函数的奇偶性；(2)若f(x)=lgg(x),判断函...