第3课时相似三角形的判定及性质习题1.3(第19页)1．证明如图，连接BE、CD.∵∠ABE和∠ACD是同弧上的圆周角，∴∠ABE＝∠ACD.又∵∠A＝∠A，∴△ABE∽△ACD.∴＝.2．证明如图所示，(1)在△ABE和△ACD中，∵∠BAE＝∠CAD，∠ABE＝∠ACD，∴△ABE∽△ACD.∴＝.∴AB·CD＝AC·BE.(2)在△ABC和△AED中，∵∠BAC＝∠BAE＋∠EAC(或∠BAC＝∠BAE－∠EAC)，∠EAD＝∠CAD＋∠EAC(或∠EAD＝∠CAD－∠EAC)，又∵∠BAE＝∠CAD，∴∠BAC＝∠EAD.又∵∠BCA＝∠EDA，∴△ABC∽△AED.∴＝.∴AC·ED＝AD·BC.3．解如图所示，设A′C′＝x.要使△ABC∽△A′B′C′只须＝即可．∵∠A＝∠A′，∴当x＝时，△ABC∽△A′B′C′.4．作法(1)作线段B′C′，使B′C′＝BC；(2)以B′为顶点，B′C′为始边，作∠D′B′C′＝∠B；(3)在B′D′上截取线段B′A′，使B′A′＝AB；(4)连接A′C′，则△A′B′C′为所作三角形．5．证明∵EF∥AD∥BC，∴＝，＝.∵AD＝BC，∴＝.∴＝.又∵∠AEB＝∠HEG，∴△AEB∽△HEG.∴∠ABE＝∠HGE.∴GH∥AB.6．证明∵DE∥AB，∴＝＝.①又∵EF∥BC，∴＝＝.②∴＝.由①、②知＝，而∠FOD＝∠COA，∴△FOD∽△COA.∴＝.∴在△ABC和△DEF中，有＝＝.∴△ABC∽△DEF.7．证明在△ACD和△BCE中，∵∠ADC＝∠BEC＝90°，∠ACD＝∠BCE，∴△ACD∽△BCE.∴＝，即AD·BC＝BE·AC.8．解方案1：(1)在地面适当位置选取一点C，连接BC，测量出BC的距离；(2)在点C竖立一根垂直于地面的标尺杆；(3)在BC的延长线上取一点D，使点D、标尺杆的顶点E和树尖在一条直线上；(4)测量CD的距离．在这个方案中，由于△DCE∽△DBA，而BC、CD、CE的长可以由测量而得，所以可以求出树高AB的长．(没有考虑测量仪的脚架高)方案2：(1)在地面上选取一点C，连接BC；(2)测出∠BCA；(3)在地面上选取一点D，使∠DCB＝∠BCA；(4)过D作BC的垂线，交BC于E；(5)测量DE、CE、BC的长，由这三个量可以求得AB的长．因为按方案2的实施，易知Rt△ABC∽Rt△DEC.(没有考虑测量仪的脚架高)方案3：(1)把一面镜子放在离树a米的点E；(2)一个人望着镜子后退到点D，这时恰好在镜子里望到树梢点A；(3)量得ED为b米，人的眼睛距地面的高度为c米，即可求AB的长．因为根据光学中的反射定律，知∠AEB＝∠CED，所以△ABE∽△CDE.9．证明如图所示，设△ABC∽△A′B′C′，相似比为k.(1)设AD是△ABC中BC边上的中线，A′D′是△A′B′C′中B′C′边上的中线．∵△ABC∽△A′B′C′，∴＝.又∵D、D′分别为BC、B′C′的中点，∴＝＝＝.又∵∠B＝∠B′，∴△ABD∽△A′B′D′.∴＝＝k.其余两组对应中线之比同理可证．(2)设AE、A′E′分别是△ABC、△A′B′C′中∠A和∠A′的内角平分线．∵△ABC∽△A′B′C′，∴∠BAC＝∠B′A′C′，∠B＝∠B′.∴∠BAE＝∠B′A′E′.∴△ABE∽△A′B′E′.∴＝＝k.同理可证，其余两个对应角的内角平分线之比也等于相似比．10．解在△AEF和△CDF中，∵∠DCF＝∠EAF，∠DFC＝∠EFA，∴△AEF∽△CDF.∴＝＝.∴＝k2＝.而S△AEF＝6，∴S△CDF＝9S△AEF＝9×6＝54(cm2)．11．解问题1：相似三角形对应角的外角平分线之比等于相似比．证明：设△ABC∽△A′B′C′.AD、A′D′分别是∠A、∠A′的外角平分线，分别交BC、B′C′的延长线于D、D′.∵△ABC∽△A′B′C′，∴∠BAC＝∠B′A′C′.又∵∠BAC＋∠1＋∠2＝∠B′A′C′＋∠3＋∠4，而∠1＝∠2，∠3＝∠4，∴∠1＝∠3.∴∠BAD＝B′A′D′.又∵∠B＝∠B′，∴△ABD∽△A′B′D′.∴＝＝k.问题2：△ABC∽△A′B′C′，以△ABC的三条边为直径，分别向△ABC外作半圆(如图所示)，同样，以△A′B′C′的三条边为直径，分别向△A′B′C′外作半圆．则两个三角形中三个对应半圆的面积之比等于相似比的平方．说明将三个半圆改为三个等边三角形、正方形、正多边形等，可以得到更多的命题．问题3：如图所示，△ABC∽△A′B′C′，相似比为k，＝.则＝k.说明该题是一个开放型问题，可以由联想、类比等方法得到许多新问题．在教学中应引导、启发和鼓励学生去探究、猜想．
