第2章推理与证明2．1合情推理与演绎推理2．1.1合情推理双基达标限时15分钟1．经计算发现下列不等式：＋<2，＋<2，＋<2…，，根据以上不等式的规律，试写出一个对正实数a，b成立的条件不等式________________________________________________________________________．答案若a＋b＝20，则＋<2(其中a，b为正实数)2．观察下列等式：C＋C＝23－2C＋C＋C＝27＋23C＋C＋C＋C＝211－25C＋C＋C＋C＋C＝215＋27由以上等式推测到一个一般的结论：对于n∈N*，C＋C＋C…＋＋C＝________________.解析由类比推理，每一个等式的结论由两项组成，第一项2的指数为(4n＋1)－2＝4n－1，第二项前有(－1)n，指数为2n－1，即有24n－1＋(－1)n·22n－1.答案24n－1＋(－1)n·22n－13．若三角形的内切圆半径为r，三边的长分别为a，b，c，则三角形的面积S＝r(a＋b＋c)，根据类比思想，若四面体的内切球半径为R，四个面的面积分别为S1，S2，S3，S4，则此四面体的体积V＝__________.解析运用分割法思想，设四面体SABC的内切球的球心为O，连接OS、OA、OB、OC，将四面体分成四个三棱维，则VSABC＝VOSAC＋VOSAB＋VOSBC＋VOABC＝S1R＋S2R＋S3R＋S4R＝(S1＋S2＋S3＋S4)R.答案(S1＋S2＋S3＋S4)R4．在平面上，若两个正三角形的边长的比为1∶2，则它们的面积比为1∶4，类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为________．解析＝＝·＝×＝.答案1∶85．观察下列各式9－1＝8,16－4＝12,25－9＝16,36－16＝20…，.这些等式反映了自然数间的某种规律，设n表示自然数，用关于n的等式表示为__________________．答案(n＋2)2－n2＝4n＋4(n∈N*)6．若数列{an}的通项公式an＝，记f(n)＝(1－a1)·(1－a2)…(1－an)，试通过计算f(1)，f(2)，f(3)的值，推测出f(n)的值．解f(1)＝1－a1＝1－＝，f(2)＝(1－a1)(1－a2)＝f(1)·＝·＝＝，f(3)＝(1－a1)(1－a2)(1－a3)＝f(2)·＝·＝.由此猜想，f(n)＝.7．将全体正整数排成一个三角形数阵：12345678910……按照以上排列的规律，第n行(n≥3)从左向右的第3个数为__________．解析前n－1行共有正整数1＋2＋3…＋＋(n－1)个，即有个，因此第n行第3个数是全体正整数中第＋3个，即为.答案8．对于等差数列{an}“有如下命题：若{an}是等差数列，a1＝0，s、t是互不相等的正整数，则有(s－1)at－(t－1)as＝0”．类比此命题，给出等比数列{bn}“相应的一个正确命题是：___________________”．答案若{bn}是等比数列，b1＝1，s、t是互不相等的正整数，则有＝19．由图(1)有面积关系：＝，则由图(2)有体积关系：＝____________.解析由三棱锥的体积公式V＝Sh及相似比可知：＝.答案10．五位同学围成一圈依序循环报数，规定：①第一位同学首次报出的数为1，第二位同学首次报出的数也为1，之后每位同学所报出的数都是前两位同学所报出的数之和；②若报出的是3的倍数，则报该数的同学需拍手一次，当第30个数被报出时，五位同学拍手的总次数为________．解析这个数列的变化规律是：从第三个数开始递增，且是前两项之和，即有1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,610,987…，将该数列的每一项除以3得余数分别为：1,1,2,0,2,2,1,0,1,1,2,0,2,2,1,0…，由此可见余数的变化规律是按1,1,2,0,2,2,1,0循环，周期是8，且一个周期中第四个数与第八个数都是3的倍数，即在三个周期中有6个报出的数是3的倍数，后面6个数中除以3的余数为1,1,2,0,2,2，只有一个是3的倍数，故共有7个是3的倍数，共拍手7次．答案711．从大、小正方形的数量关系上，观察如右图所示的几何图形，试归纳可得出什么结论？解从大、小正方形的数量关系上，容易发现1＝12，1＋3＝2×2＝22，1＋3＋5＝3×3＝32，1＋3＋5＋7＝4×4＝42，1＋3＋5＋7＋9＝5×5＝52，1＋3＋5＋7＋9＋11＝6×6＝62.观察上述算式的结构特征，我们可以猜想：1＋3＋5＋7…＋＋(2n－1)＝n2.12．在等差数列{an}中，若a10＝0，则有a1＋a2…＋＋an＝a1＋a2…＋＋a19－n(n<19，n∈N＋)成立．类比上述性质，相应地，在等比数列{bn}中，若b9＝1，则有怎样的等式成立？解由此，猜测本题的答案为b1b2…bn＝b1b2…b17－n(n<17，n∈N＋)．事实上，对...
