1.3算法案例一、基础达标1．下列说法中正确的个数为()(1)辗转相除法也叫欧几里得算法；(2)辗转相除法的基本步骤是用较大的数除以较小的数；(3)求最大公约数的方法，除辗转相除法之外，没有其他方法；(4)编写辗转相除法的程序时，要用到循环语句．A．1B．2C．3D．4答案C解析(1)、(2)、(4)正确，(3)错误．2．1037和425的最大公约数是()A．51B．17C．9D．3答案B解析∵1037＝425×2＋187，425＝187×2＋51，187＝51×3＋34，51＝34×1＋17，34＝17×2，即1037和425的最大公约数是17.3．用秦九韶算法计算多项式f(x)＝3x6＋4x5＋5x4＋6x3＋7x2＋8x＋1当x＝0.4时的值时，需要做乘法和加法的次数分别是()A．6，6B．5，6C．5，5D．6，5答案A解析秦九韶算法中最多需用加法和乘法的次数，由多项式的次数n可知，∴选A.4．两个二进制数101(2)与110(2)的和用十进制数表示为()A．12B．11C．10D．9答案B解析101(2)＝1×22＋0×21＋1×20＝5，110(2)＝1×22＋1×21＋0×20＝6.5．已知f(x)＝x5＋2x3＋3x2＋x＋1，应用秦九韶算法计算x＝3时的值时，v3的值为()A．27B．11C．109D．36答案D解析将函数式化成如下形式．f(x)＝((((x＋0)x＋2)x＋3)x＋1)x＋1由内向外依次计算：v0＝1，v1＝1×3＋0＝3，v2＝3×3＋2＝11，v3＝11×3＋3＝36.6．三位七进制数中的最大数表示的十进制的数是()A．322B．402C．342D．365答案C解析三位七进制数中的最大数为666(7)，则转化为十进制为666(7)＝6×72＋6×71＋6×70＝294＋42＋6＝342.7．(1)用辗转相除法求288与123的最大公约数．(2)用更相减损术求57与93的最大公约数．解(1)288＝123×2＋42，123＝42×2＋39，42＝39×1＋3，39＝3×13，∴288和123的最大公约数是3.(2)(93，57)→(36，57)→(36，21)→(15，21)→(15，6)→(9，6)→(3，6)→(3，3)，∴93与57的最大公约数是3.二、能力提升8．下列各数中最小的数是()A．101010(2)B．210(8)C．1001(16)D．81答案A解析101010(2)＝1×25＋0×24＋1×23＋0×22＋1×21＋0×20＝42.210(8)＝2×82＋1×81＋0×80＝136，1001(16)＝1×163＋0×162＋0×16＋1×160＝4097，故选A.9．将八进制数127(8)化成二进制数为________．答案1010111(2)解析先将八进制数127(8)化为十进制数：127(8)＝1×82＋2×81＋7×80＝64＋16＋7＝87，再将十进制数87化成二进制数：∴87＝1010111(2)，∴127(8)＝1010111(2)．10．用秦九韶算法求函数f(x)＝1＋2x＋x2－3x3＋2x4，当x＝－1时的值时，v2的结果是________．答案6解析此题的n＝4，a4＝2，a3＝－3，a2＝1，a1＝2，a0＝1，由秦九韶算法的递推关系式(k＝1，2，…，n)，得v1＝v0x＋a3＝2×(－1)－3＝－5.v2＝v1x＋a2＝－5×(－1)＋1＝6.11．用秦九韶算法求多项式f(x)＝7x7＋6x6＋5x5＋4x4＋3x3＋2x2＋x当x＝3时的值．解f(x)＝((((((7x＋6)x＋5)x＋4)x＋3)x＋2)x＋1)x，所以v0＝7，v1＝7×3＋6＝27，v2＝27×3＋5＝86，v3＝86×3＋4＝262，v4＝262×3＋3＝789，v5＝789×3＋2＝2369，v6＝2369×3＋1＝7108，v7＝7108×3＝21324.故x＝3时，多项式f(x)＝7x7＋6x6＋5x5＋4x4＋3x3＋2x2＋x的值为21324.三、探究与创新12．有甲、乙、丙三种溶液分别重147g，343g，133g，现要将它们分别全部装入小瓶中，每个小瓶装入液体的质量相同，每瓶最多装多少克溶液？解每个小瓶装的溶液的质量应是三种溶液质量的最大公约数，先求147和343的最大公约数.343－147＝196，196－147＝49，147－49＝98，98－49＝49.∴147和343的最大公约数为49.同理可求得49与133的最大公约数为7.所以每瓶最多装7克．13．分别用算法步骤、程序框图、程序语句表示把k进制数a(共有n位数)转化成十进制数b.解算法步骤：第一步，输入a，k，n的值．第二步，赋值b＝0，i＝1.第三步，b＝b＋ai·ki－1，i＝i＋1.第四步，判断i>n是否成立．若是，则执行第五步；否则，返回第三步．第五步，输出b的值．程序框图：程序语句：
