2013考研数学春季基础班线性代数辅导讲义12013考研数学春季基础班线性代数辅导讲义-主讲：汤家凤第一讲行列式一、基本概念定义1逆序—设ji,是一对不等的正整数，若ji，则称),(ji为一对逆序。定义2逆序数—设niii21是n,,2,1的一个排列，该排列所含逆序总数称为该排列的逆序数，记为)(21niii，逆序数为奇数的排列称为奇排列，逆序数为偶数的排列称为偶排列。定义3行列式—称nnnnnnaaaaaaaaaD212222111211称为n阶行列式，规定nnnnjjjjjjjjjaaaD21212121)()1(。定义4余子式与代数余子式—把行列式nnnnnnaaaaaaaaaD212222111211中元素ija所在的i行元素和j列元素去掉，剩下的1n行和1n列元素按照元素原来的排列次序构成的1n阶行列式，称为元素ija的余子式，记为ijM，称ijjiijMA)1(为元素ija的代数余子式。二、几个特殊的高阶行列式1、对角行列式—形如naaa00000021称为对角行列式，nnaaaaaa2121000000。2、上（下）三角行列式—称nnnnaaaaaa00022211211及nnnnaaaaaa21222111000为上（下）三角行列式，nnnnnnaaaaaaaaa221122211211000，nnnnnnaaaaaaaaa221121222111000。2013考研数学春季基础班线性代数辅导讲义23、||||BABOOA，||||BABOCA，||||BABCOA。4、范得蒙行列式—形如112112121111),,,(nnnnnnaaaaaaaaaV称为n阶范得蒙行列式，且nijjinnnnnnaaaaaaaaaaaV1112112121)(111),,,(。【注解】0),,,(21naaaV的充分必要条件是naaa,,,21两两不等。三、行列式的计算性质（一）把行列式转化为特殊行列式的性质1、行列式与其转置行列式相等，即TDD。2、对调两行（或列）行列式改变符号。3、行列式某行（或列）有公因子可以提取到行列式的外面。推论1行列式某行（或列）元素全为零，则该行列式为零。推论2行列式某两行（或列）相同，行列式为零。推论3行列式某两行（或列）元素对应成比例，行列式为零。4、行列式的某行（或列）的每个元素皆为两数之和时，行列式可分解为两个行列式，即nnnniniinnnnniniinnnnnininiiiinaaabbbaaaaaaaaaaaaaaabababaaaa21211121121211121121221111211。5、行列式的某行（或列）的倍数加到另一行（或列），行列式不变，即nnnnjnjjjninjijinnnnnjnjjiniinaaaaaakaakaakaaaaaaaaaaaaaaaaa212122111121121212111211，其中k为任意常数。【例题1】设321,,,,为4维列向量,且4|,,,|||321A，21|,3,,|||321B，求||BA。2013考研数学春季基础班线性代数辅导讲义3【例题2】用行列式性质1~5计算842321123。【例题3】计算行列式2164729541732152D。【例题4】计算nnaaaaD1111111111111111321，其中)1(0niai。（二）行列式降阶的性质6、行列式等于行列式某行（或列）元素与其对应的代数余子式之积的和，即),,2,1(2211niAaAaAaDininiiii，),,2,1(2211njAaAaAaDnjnjjjjj。7、行列式的某行（或列）元素与另一行（或列）元素的代数余子式之积的和为零。【例题1】用行列式按行或列展开的性质计算842321123。【例题2】设2164729541732152D，求（1）24232221MMMM；（2）3231MM。四、行列式的应用—克莱姆法则对方程组000221122221211212111nnnnnnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxa（I）及nnnnnnnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111（II）其中)(II称为非齐方程组，)(I称为)(II对应的齐次方程组或)(II的导出方程组。2013考研数学春季基础班线性代数辅导讲义4令nnnnnnnnnnnnnnnnbaabaabaaDaabaabaabDaaaaaaaaaD2122221112112222211211212222111211,,,，其中D称为系数行列式，我们有定理1)(I只有零解的充分必要条件是0D；)(I有非零解（或者)(I有无穷多个解）的充分必要条件是0D。定理2)(II有唯一解的充分必要条件是0D，且),,2,1(niDDxii；当0D时，)(II要么无解，要么有无穷多个解。第二讲矩阵一、基本概念及其运算（一）基本概念1、矩阵—形如mnmmnnaaaaaaaaa212222111211称为m行n列的矩阵，记为nmijaA)(，行数与列数相等的矩阵称为方阵，元素全为零的矩阵称为零矩阵。（1）若矩阵中所有元素都为零，该矩阵称为零矩阵，记为O。（2）对nmijaA)(，若nm，称A为n阶方阵。（3）称11E为单位矩阵。（4）对称矩阵—设nnijaA)(，若),,2,1,(njiaajiij，称A为对称矩阵。（5）转置矩阵—设mnmmnnaaaaaaaaaA2...
