第7讲立体几何中的向量方法(Ⅱ)——求空间角分层训练A级基础达标演练(时间：30分钟满分：60分)一、填空题(每小题5分，共30分)1.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心，M是D1D的中点，N是A1B1上的动点，则直线NO、AM的位置关系是________．解析建立坐标系如图，设正方体的棱长为2，则A(2,0,0)，M(0,0,1)，O(1,1,0)，N(2，t,2)，NO＝(－1,1－t，－2)，AM＝(－2,0,1)，NO·AM＝0，则直线NO、AM的位置关系是异面垂直．答案异面垂直2．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别为棱AA1和BB1的中点，则sin〈CM，D1N〉的值为________．解析设正方体的棱长为2，以D为坐标原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴建立空间直角坐标系(如图)，可知CM＝(2，－2,1)，D1N＝(2,2，－1)，cos〈CM，D1N〉＝－，所以sin〈CM，D1N〉＝.答案3．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝1，E为CC1的中点，则异面直线BC1与AE所成角的余弦值为________．解析建立坐标系如图，则A(1,0,0)，E(0,2,1)，B(1,2,0)，C1(0,2,2)．BC1＝(－1,0,2)，AE＝(－1,2,1)，cos〈BC1，AE〉＝＝.所以异面直线BC1与AE所成角的余弦值为.答案4．(·全国卷改编)已知直二面角α－l－β，点A∈α，AC⊥l，C为垂足，点B∈β，BD⊥l，D为垂足，若AB＝2，AC＝BD＝1，则CD＝________.解析如图，建立直角坐标系D－xyz，由已知条件B(0,0,1)，A(1，t,0)(t＞0)，由AB＝2解得t＝.答案5．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是棱BB1中点，G是DD1中点，F是BC上一点且FB＝BC，则GB与EF所成的角为________．解析如图建立直角坐标系D－xyz，设DA＝1，由已知条件G，B，E，F，GB＝，EF＝，cos〈GB，EF〉＝＝0，则GB⊥EF.答案90°6．正四棱锥S－ABCD中，O为顶点在底面上的射影，P为侧棱SD的中点，且SO＝OD，则直线BC与平面PAC的夹角的大小为________．解析如图所示，以O为原点建立空间直角坐标系O－xyz.设OD＝SO＝OA＝OB＝OC＝a，则A(a,0,0)，B(0，a,0)，C(－a,0,0)，P.则CA＝(2a,0,0)，AP＝，CB＝(a，a,0)．设平面PAC的法向量为n，可求得n＝(0,1,1)，则cos〈CB，n〉＝＝＝.∴〈CB，n〉＝60°，∴直线BC与平面PAC的夹角为90°－60°＝30°.答案30°二、解答题(每小题15分，共30分)7.(·盐城中学期中调研)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1，AA1＝，M是棱CC1的中点．(1)求证：A1B⊥AM；(2)求直线AM与平面AA1B1B所成角的正弦值．解(1) C1C⊥平面ABC，BC⊥AC，∴分别以CA，CB，CC1所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．则B(0,1,0)，A1(，0，)，A(，0,0)，M.∴A1B＝(－，1，－)，AM＝，∴A1B·AM＝3＋0－3＝0，∴A1B⊥AM.即A1B⊥AM.(2)由(1)，知AB＝(－，1,0)，AA1＝(0,0，)，设平面AA1B1B的法向量为n＝(x，y，z)，则不妨取n＝(，3,0)．设直线AM与平面AA1B1B所成角为θ.∴sinθ＝|cos〈AM，n〉|＝＝.8.(·湖北卷)如图，已知正三棱柱ABCvA1B1C1的底面边长为2，侧棱长为3，点E在侧棱AA1上，点F在侧棱BB1上，且AE＝2，BF＝.(1)求证：CF⊥C1E；(2)求二面角E－CF－C1的大小．解建立如图所示的空间直角坐标系A－xyz，则由已知可得A(0,0,0)，B(，1,0)，C(0,2,0)，C1(0,2，3)，E(0,0，2)，F(，1，)．(1)证明C1E＝(0，－2，－)，CF＝(，－1，)．C1E·CF＝0＋2－2＝0，所以CF⊥C1E.(2)解CE＝(0，－2,2)，设平面CEF的一个法向量为m＝(x，y，z)，由m⊥CE，m⊥CF，得即解得可取m＝(0，，1)，设侧面BC1的一个法向量为n，由n⊥BC，n⊥CC1，及CB＝(，－1,0)，CC1＝(0,0,3)，可取n＝(1，，0)．设二面角E－CF－C1的大小为θ，于是由θ为锐角可得cosθ＝＝＝，所以θ＝45°.即所求二面角E－CF－C1的大小为45°.分层训练B级创新能力提升1.如图，在四棱锥P－ABCD中，侧面PAD为正三角形，底面ABCD为正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，M为底面ABCD内的一个动点，且满足MP＝MC，则点M在正方形ABCD内的轨迹为________．解析以D为原点，DA、DC所在直线分别为x、y轴建系如图：设M(x，y,0)，设正方形边长为a，则P，C(0，a,0)，则MC＝，MP＝.由MP＝MC得x＝2y，所以点M在正方形ABCD内的轨迹为直线y＝x的一部分．答案①2．已知正方体ABCD－A1B1C...
