第六章数列第1讲数列的概念与简单表示法分层训练A级基础达标演练(时间：30分钟满分：60分)一、填空题(每小题5分，共30分)1．已知数列，1……，，，，，，，则3是它的第________项．解析3＝＝.答案232．(·福州一模)把1,3,6,10,15,21这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的点子可以排成一个正三角形(如图所示)．则第七个三角形数是________．解析观察三角形数的增长规律，可以发现每一项比它的前一项多的点数正好是本身的序号，所以根据这个规律计算即可．根据三角形数的增长规律可知第七个三角形数是1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＝28.答案283．(·四川卷改编)数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，an＋1＝3Sn(n≥1)，则a6＝________.解析a1＝1，a2＝3S1＝3，a3＝3S2＝12＝3×41，a4＝3S3＝48＝3×42，a5＝3S4＝3×43，a6＝3S5＝3×44.答案3×444．(·南京调研)已知正数数列{an}对任意p，q∈N*，都有ap＋q＝ap·aq，若a2＝4，则a9＝________.解析由条件，可有a1＝2，a2＝4，a4＝16，a8＝256，a9＝512.答案5125．在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋n＋1，则通项an＝________.解析由an＋1－an＝n＋1，可得an－an－1＝n，an－1－an－2＝n－1，an－2－an－3＝n－2，…a3－a2＝3，a2－a1＝2，以上n－1个式子左右两边分别相加得，an－a1＝2＋3…＋＋n，∴an＝1＋(1＋2＋3…＋＋n)＝＋1.答案＋16．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－9n，第k项满足5＜ak＜8，则k的值为________．解析 Sn＝n2－9n，∴n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－10，a1＝S1＝－8适合上式，∴an＝2n－10(n∈N*)，∴5＜2k－10＜8，得7.5＜k＜9.∴k＝8.答案8二、解答题(每小题15分，共30分)7．已知各项均为正数的数列{an}的前n项和满足Sn＞1，且6Sn＝(an＋1)(an＋2)，n∈N*.求{an}的通项公式．解由a1＝S1＝(a1＋1)(a1＋2)，解得a1＝1或a1＝2，由已知a1＝S1＞1，因此a1＝2.又由an＋1＝Sn＋1－Sn＝(an＋1＋1)(an＋1＋2)－(an＋1)(an＋2)，得an＋1－an－3＝0或an＋1＝－an.因an＞0，故an＋1＝－an不成立，舍去．因此an＋1－an－3＝0.即an＋1－an＝3，从而{an}是公差为3，首项为2的等差数列，故{an}的通项为an＝3n－1.8．在数列{an}中，已知a1＝1，an＋1＝an＋2n－1，求an.解由an＋1＝an＋2n－1，得an＋1－an＝2n－1.所以a2－a1＝1，a3－a2＝2，a4－a3＝22，a5－a4＝23，…an－an－1＝2n－2(n≥2)，将以上各式左右两端分别相加，得an－a1＝1＋2＋22…＋＋2n－2＝2n－1－1，所以an＝2n－1(n≥2)，又因为a1＝1适合上式，故an＝2n－1(n∈N*)．分层训练B级创新能力提升1．数列{an}的通项公式是an＝n2＋kn＋2，若对所有的n∈N*，都有an＋1＞an成立，则实数k的取值范围是________．解析an＋1＞an，即(n＋1)2＋k(n＋1)＋2＞n2＋kn＋2，则k＞－(2n＋1)对所有的n∈N*都成立，而当n＝1时，－(2n＋1)取得最大值－3，所以k＞－3.答案(－3∞，＋)2．(·合肥三检)在数列{an}中，a1＝，an＋1＝1－(n≥2)，则a16＝________.解析由题可知a2＝1－＝－1，a3＝1－＝2，a4＝1－＝，∴此数列是以3为周期的周期数列，a16＝a3×5＋1＝a1＝.答案3．已知{an}的前n项和为Sn，且满足log2(Sn＋1)＝n＋1，则an＝________.解析由已知条件可得Sn＋1＝2n＋1.∴Sn＝2n＋1－1，当n＝1时，a1＝S1＝3，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n＋1－1－2n＋1＝2n，n＝1时不适合an，∴an＝答案4．(·南通调研三)已知5×5数字方阵中，aij＝则3j＋i4＝________.解析由条件可知a32＝－1，a33＝1，a34＝－1，a35＝－1，a24＝1，a34＝－1，a44＝1，从而原式＝－1.答案－15．(·无锡一中期中)设数列{bn}满足：b1＝，bn＋1＝b＋bn，(1)求证：＝－；(2)若Tn…＝＋＋＋，对任意的正整数n,3Tn－log2m－5>0恒成立．求m的取值范围．解(1) b1＝，bn＋1＝b＋bn＝bn(bn＋1)，∴对任意的n∈N*，bn>0.∴＝＝－，即＝－.(2)Tn…＝＋＋＋＝－＝2－. bn＋1－bn＝b>0，∴bn＋1>bn，∴数列{bn}是单调递增数列．∴数列{Tn}关于n递增．∴Tn≥T1. b1＝，∴b2＝b1(b1＋1)＝.∴T1＝2－＝.∴Tn≥. 3Tn－log2m－5>0恒成立．∴log2m<－3，∴0
