v1.0可编辑可修改1第1页共3页菱形的判定方法的应用(1)菱形是特殊的平行四边形，它的常用判定方法有：（1）四条边都相等的四边形是菱形；（2）有一组临边相等的平行四边形是菱形；（3）对角线互相垂直的平行四边形是菱形；下面，就给同学们说说如何应用这些方法进行判定一个四边形是菱形。一、四条边都相等的四边形是菱形例1（08年，郴州）如图1，ΔABC为等腰三角形，把它沿底边BC翻折后，得到ΔDBC．请你判断四边形ABDC的形状，并说出你的理由．分析：翻折就是对称，也就是全等。解：四边形ABCD为菱形。理由是：由翻折，得：△ABC≌△DBC．所以，,ACCDABBD因为，△ABC为等腰三角形，所以，ABAC所以，AC＝CD＝AB＝BD，故，四边形ABCD为菱形点评：本题主要是应用对称的知识得出一组临边相等，在运用等腰三角形的两腰相等得到四条边都相等来解答。二、有一组临边相等的平行四边形是菱形例2（08年，永州）如图△ABC与△CDE都是等边三角形，点E、F分别在AC、BC上，且EF∥AB（1）求证：四边形EFCD是菱形；（2）设CD＝4，求D、F两点间的距离．分析：在四边形EFCD中，由题意我们知道有一组临边ED和CD相等是很容易得到的，只要在说明这个四边形是平行四边形即可以。（1）证明：ABC△与CDE△都是等边三角形EDCDCABD图1v1.0可编辑可修改2第2页共3页60ADCEBCADCEABCDDECF∥，∥又EFAB∥EF∥CD，四边形EFCD是平行四边形，平行四边形EFCD是菱形。（2）解：连结DF，与CE相交于点G由4CD，可知2CG224223DG43DF点评：观察是解答问题的途径和窗口。三、对角线互相垂直的平行四边形是菱形例3（08年，上海）如图11，已知平行四边形ABCD中，对角线ACBD，交于点O，E是BD延长线上的点，且ACE△是等边三角形．求证：四边形ABCD是菱形；分析：本题主要是利用等边三角形顶角的平分线、底边上的高和中线三线合一，得出AC⊥BD，然后在利用对角线互相垂直的平行四边形是菱形。证明：在平行四边形ABCD中，AO=OC,又因为，ACE△是等边三角形，所以，OC是底边AC上的中线，也是底边上的高即AC⊥BD，所以，平行四边形ABCD是菱形。点评：判定方法的确定要依据题目的特征来选择，要因题而宜，灵活运用。以一当十：1、（08年，赣州）如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，M、N分别是AD、BC的中点，E、F分别是BM、CM的中点．ECDBAO例3v1.0可编辑可修改3第3页共3页（1）在不添加线段的前提下，图中有哪几对全等三角形请直接写出结论；（2）判断并证明四边形MENF是何种特殊的四边形2、（08年，无锡）如图，四边形ABCD中，ABCD∥，AC平分BAD，CEAD∥交AB于E．（1）求证：四边形AECD是菱形；（2）若点E是AB的中点，试判断ABC△的形状，并说明理由．参考答案：（1）△AMB≌△DMC；△BEN≌△CFN（2）判断四边形MENF为菱形；证明：∵ABCD为等腰梯形，∴AB=CD，∠A=∠D，又∵M为AD的中点，∴MA=MD∴△AMB≌△DMC，∴BM=CM；又∵E、F、N分别为BM、CM、BC中点，∴MF=NE=12MC，ME=NF=12BM，（或MF∥NE，ME∥NF；）∴EM=NF=MF=NE；∴四边形MENF为菱形．2、（1）ABCD∥，即AECD∥，又CEAD∥，四边形AECD是平行四边形．AC平分BAD，CAECAD，又ADCE∥，ACECAD，ACECAE，AECE，四边形AECD是菱形．（2）E是AB中点，AEBE．又AECE，BECE，BBCE，180BBCABAC，22180BCEACE，90BCEACE．即90ACB，ABC△是直角三角形．MFENDCAB
