第5讲数列的综合应用基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、填空题1．(·昆明调研)公比不为1的等比数列{an}的前n项和为Sn，且－3a1，－a2，a3成等差数列，若a1＝1，则S4＝________.解析记等比数列{an}的公比为q(q≠1)，依题意有－2a2＝－3a1＋a3，－2a1q＝－3a1＋a1q2，即q2＋2q－3＝0，(q＋3)(q－1)＝0，又q≠1，因此有q＝－3，则S4＝＝－20.答案－202．若－9，a，－1成等差数列，－9，m，b，n，－1成等比数列，则ab＝________.解析由已知得a＝＝－5，b2＝(－9)×(－1)＝9且b<0，∴b＝－3，∴ab＝(－5)×(－3)＝15.答案153．(·德州模拟)数列{an}满足a1＝1，log2an＋1＝log2an＋1(n∈N*)，它的前n项和为Sn，则满足Sn>1025的最小n值是________．解析因为a1＝1，log2an＋1＝log2an＋1(n∈N*)，所以an＋1＝2an，an＝2n－1，Sn＝2n－1，则满足Sn>1025的最小n值是11.答案114．已知{an}为等比数列，Sn是它的前n项和．若a2·a3＝2a1，且a4与2a7的等差中项为，则S5＝________.解析设数列{an}的公比为q，则由等比数列的性质知，a2·a3＝a1·a4＝2a1，即a4＝2.由a4与2a7的等差中项为知，a4＋2a7＝2×，∴a7＝＝.∴q3＝＝，即q＝.∴a4＝a1q3＝a1×＝2，∴a1＝16，∴S5＝＝31.答案315．(·兰州模拟)设y＝f(x)是一次函数，若f(0)＝1，且f(1)，f(4)，f(13)成等比数列，则f(2)＋f(4)…＋＋f(2n)等于________．解析由题意可设f(x)＝kx＋1(k≠0)，则(4k＋1)2＝(k＋1)×(13k＋1)，解得k＝2，f(2)＋f(4)…＋＋f(2n)＝(2×2＋1)＋(2×4＋1)…＋＋(2×2n＋1)＝2n2＋3n.答案2n2＋3n6．(·绍兴调研)已知实数a1，a2，a3，a4构成公差不为零的等差数列，且a1，a3，a4构成等比数列，则此等比数列的公比等于________．解析设公差为d，公比为q.则a＝a1·a4，即(a1＋2d)2＝a1(a1＋3d)，解得a1＝－4d，所以q＝＝＝.答案7．(·江西卷)某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵数是前一天的2倍，则需要的最少天数n(n∈N*)等于________．解析每天植树棵数构成等比数列{an}，其中a1＝2，q＝2.则Sn＝＝2(2n－1)≥100，即2n＋1≥102.∴n≥6，∴最少天数n＝6.答案68．(·山东省实验中学诊断)数列{an}满足a1＝3，an－anan＋1＝1，An表示{an}前n项之积，则A2013＝________.解析由a1＝3，an－anan＋1＝1，得an＋1＝，所以a2＝＝，a3＝－，a4＝3，所以{an}是以3为周期的数列，且a1a2a3＝－1，又2013＝3×671，所以A2013＝(－1)671＝－1.答案－1二、解答题9．(·杭州模拟)设{an}是公比大于1的等比数列，Sn为数列{an}的前n项和．已知S3＝7，且a1＋3,3a2，a3＋4构成等差数列．(1)求数列{an}的通项公式．(2)令bn＝nan，n＝1,2…，，求数列{bn}的前n项和Tn.解(1)由已知，得解得a2＝2.设数列{an}的公比为q，由a2＝2，可得a1＝，a3＝2q.又S3＝7，可知＋2＋2q＝7，即2q2－5q＋2＝0，解得q＝2或.由题意得q＞1，所以q＝2.则a1＝1.故数列{an}的通项为an＝2n－1.(2)由于bn＝n·2n－1，n＝1,2…，，则Tn＝1＋2×2＋3×22…＋＋n×2n－1，所以2Tn＝2＋2×22…＋＋(n－1)×2n－1＋n×2n，两式相减得－Tn＝1＋2＋22＋23…＋＋2n－1－n×2n＝2n－n×2n－1，即Tn＝(n－1)2n＋1.10．(·湛江二模)已知函数f(x)＝x2－2x＋4，数列{an}是公差为d的等差数列，若a1＝f(d－1)，a3＝f(d＋1)，(1)求数列{an}的通项公式；(2)Sn为{an}的前n…≥项和，求证：＋＋＋.(1)解a1＝f(d－1)＝d2－4d＋7，a3＝f(d＋1)＝d2＋3，又由a3＝a1＋2d，可得d＝2，所以a1＝3，an＝2n＋1.(2)证明Sn＝＝n(n＋2)，＝＝，…所以，＋＋＋＝≥＝＝.能力提升题组(建议用时：25分钟)一、填空题1．(·福州模拟)在等差数列{an}中，满足3a4＝7a7，且a1>0，Sn是数列{an}前n项的和，若Sn取得最大值，则n＝________.解析设公差为d，由题设3(a1＋3d)＝7(a1＋6d)，所以d＝－a1<0.解不等式an>0，即a1＋(n－1)>0，所以n<，则n≤9，当n≤9时，an>0，同理可得n≥10时，an<0.故当n＝9时，Sn取得最大值．答案92．已知f(x)＝bx＋1是关于x的一次函数，b为不等于1的常数，且g(n)＝设an＝g(n)－g(n－1)(n∈N*)，则数列{an}为________数列．(“”“”“”“”填等差、等比、递增或递减...
