高考数学二轮复习 专题整合规范练5 圆锥曲线 理（含最新原创题，含解析）VIP专享VIP免费

【创新设计】（人教通用）高考数学二轮复习专题整合规范练5圆锥曲线理（含最新原创题，含解析）1．如图，已知点A(1，)是离心率为的椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)上的一点，斜率为的直线BD交椭圆C于B、D两点，且A、B、D三点互不重合．(1)求椭圆C的方程；(2)求证：直线AB、AD的斜率之和为定值．解(1)由题意，可得e＝＝，将(1，)代入＋＝1，得＋＝1，又a2＝b2＋c2，解得a＝2，b＝，c＝，所以椭圆C的方程为＋＝1.(2)设直线BD的方程为y＝x＋m，又A、B、D三点不重合，所以m≠0.设D(x1，y1)，B(x2，y2)，由得4x2＋2mx＋m2－4＝0，所以Δ＝－8m2＋64＞0，∴－2＜m＜2，x1＋x2＝－m①，x1x2＝②.设直线AB、AD的斜率分别为kAB、kAD，则kAD＋kAB＝＋＝＋＝2＋m·(*)．将①②式代入(*)，得2＋m＝2－2＝0，所以kAD＋kAB＝0，即直线AB、AD的斜率之和为定值0.2．椭圆M：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，且经过点P.过坐标原点的直线l1与l2均不在坐标轴上，l1与椭圆M交于A，C两点，l2与椭圆M交于B，D两点．(1)求椭圆M的方程；(2)若平行四边形ABCD为菱形，求菱形ABCD面积的最小值．解(1)依题意有又因为a2＝b2＋c2，所以.故椭圆M的方程为＋y2＝1.(2)设直线AC：y＝k1x，直线BD：y＝k2x，A(xA，yA)，C(xC，yC)．联立，得方程(2k＋1)x2－2＝0，x＝x＝，故|OA|＝|OC|＝·.同理，|OB|＝|OD|＝·.又因为AC⊥BD，所以|OB|＝|OD|＝·，其中k1≠0.从而菱形ABCD的面积S＝2|OA|·|OB|＝2···，整理得S＝4，其中k1≠0.故当k1＝1或－1时，菱形ABCD的面积最小，该最小值为.3．已知椭圆C的中心为坐标原点O，一个长轴端点为(0,2)，短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，直线l与y轴交于点P(0，m)，与椭圆C交于相异两点A，B，且AP＝2PB.(1)求椭圆方程；(2)求m的取值范围．解(1)由题意知椭圆的焦点在y轴上，设椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)，由题意知a＝2，b＝c，又a2＝b2＋c2，则b＝，所以椭圆方程为＋＝1.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意，直线l的斜率存在，设其方程为y＝kx＋m，与椭圆方程联立，即则(2＋k2)x2＋2mkx＋m2－4＝0，Δ＝(2mk)2－4(2＋k2)(m2－4)＞0，由根与系数的关系知又AP＝2PB，即有(－x1，m－y1)＝2(x2，y2－m)．∴－x1＝2x2，∴∴＝－22，整理得(9m2－4)k2＝8－2m2，又9m2－4＝0时不成立，∴k2＝＞0，得＜m2＜4，此时Δ＞0.∴m的取值范围为∪.4．已知△ABC的两顶点坐标A(－1,0)，B(1,0)，圆E是△ABC的内切圆，在边AC，BC，AB上的切点分别为P，Q，R，|CP|＝1(从圆外一点到圆的两条切线段长相等)，动点C的轨迹为曲线M.(1)求曲线M的方程；(2)设直线BC与曲线M的另一交点为D，当点A在以线段CD为直径的圆上时，求直线BC的方程．解(1)由题知|CA|＋|CB|＝|CP|＋|CQ|＋|AP|＋|BQ|＝2|CP|＋|AB|＝4＞|AB|，所以曲线M是以A，B为焦点，长轴长为4的椭圆(挖去与x轴的交点)，设曲线M：＋＝1(a＞b＞0，y≠0)，则a2＝4，b2＝a2－()2＝3，所以曲线M：＋＝1(y≠0)为所求．(2)注意到直线BC的斜率不为0，且过定点B(1,0)，设lBC：x＝my＋1，C(x1，y1)，D(x2，y2)，由消x得(3m2＋4)y2＋6my－9＝0，所以y1,2＝，所以因为AC＝(my1＋2，y1)，AD＝(my2＋2，y2)，所以AC·AD＝(my1＋2)(my2＋2)＋y1y2＝(m2＋1)y1y2＋2m(y1＋y2)＋4＝－－＋4＝.注意到点A在以CD为直径的圆上，所以AC·AD＝0，即m＝±，所以直线BC的方程3x＋y－3＝0或3x－y－3＝0为所求．