高考数学 数列与函数、不等式综合问题选讲经典精讲课后练习二 理VIP免费

数列与函数、不等式综合问题选讲经典精讲题一：已知函数f(x)＝a·bx的图象过点A(2，)，B(3,1)，若记an＝log2f(n)(n∈N*)，Sn是数列{an}的前n项和，则Sn的最小值是________．题二：已知函数f(x)＝，数列{an}满足a1＝1，an＋1＝f()，n∈N*.(1)求数列{an}的通项公式；(2)令bn＝(n≥2)，b1＝3，Sn＝b1＋b2…＋＋bn，若Sn<对一切n∈N*成立，求最小的正整数m.题三：已知数列{an}具有性质：①a1为整数；②对于任意的正整数n，当an为偶数时，an＋1＝；当an为奇数时，an＋1＝；(1)若a1为偶数，且a1，a2，a3成等差数列，求a1的值；(2)设a1＝2m＋3(m>3且m∈N)，数列{an}的前n项和为Sn，求证：Sn≤2m＋1＋3；(3)若an为正整数，求证：当n>1＋log2a1(n∈N)时，都有an＝0.题四：定义数列}{nx，如果存在常数p，使对任意正整数n，总有1()()0nnxpxp成立，那么我们称数列}{nx“为p摆动”数列．（1）设12nan，nnqb（01q），Nn，判断数列}{na、}{nb是否为“p摆动”数列，并说明理由；（2“）已知p摆动数列”}{nc满足111nncc，11c，求常数p的值；（3）设(1)(21)nndn，且数列}{nd的前n项和为nS，求证：数列}{nS“是p摆动数列”，并求出常数p的取值范围.数列与函数、不等式综合问题选讲经典精讲课后练习参考答案题一：－3详解：将A、B两点坐标代入f(x)得解得∴f(x)＝·2x.∴f(n)＝·2n＝2n－3.∴an＝log2f(n)＝n－3.令an≤0，即n－3≤0，∴n≤3.∴数列第3项小于或等于零，故S3或S2最小．S3＝a1＋a2＋a3＝－2＋(－1)＋0＝－3.题二：（1）an＝n＋;(2)m最小＝.详解：(1)∵an＋1＝f()＝＝an＋，∴{an}是以为公差，首项a1＝1的等差数列，∴an＝n＋.(2)当n≥2时，bn＝＝＝(－)，当n＝1时，上式同样成立．∴Sn＝b1＋b2…＋＋bn＝(1…－＋－＋＋－)＝(1－)，∵Sn<，即(1－)<对一切n∈N*成立，又(1－)随n递增，且(1－)<，∴≤，∴m≥，∴m最小＝.题三：（1）2或0；（2）省略；（3）省略详解：(1)设a1＝2k，则a2＝k，由条件知2k＋a3＝2k，∴a3＝0.分两种情况讨论：若k是奇数，则a3＝＝＝0，∴k＝1，a1＝2，a2＝1，a3＝0，若k是偶数，则a3＝＝＝0，∴k＝0，a1＝0，a2＝0，a3＝0，∴a1的值为2或0.(2)当m>3时，a1＝2m＋3，a2＝2m－1＋1，a3＝2m－2，a4＝2m－3，a5＝2m－4…，，am＝2，am＋1＝1，am＋2…＝＝an＝0，∴Sn≤Sm＋1＝1＋2…＋＋2m＋4＝2m＋1＋3.(3)∵n>1＋log2a1，∴n－1>log2a1，∴2n－1>a1，由定义可知：an＋1＝，∴an＋1≤≤，∴.∴an＝··…··a1≤a1，∴an<·2n－1＝1，∵an∈N，∴an＝0，综上可知：当n>1＋log2a1(n∈N)时，都有an＝0.题四：（1）}{na“不是p摆动”数列；}{nb“是p摆动”数列.（2）215p；（3）)2,1(详解：（1）假设数列}{na“是p摆动”数列，即存在常数p，总有1212npn对任意n成立，不妨取1n时则31p，取2n时则53p，显然常数p不存在，所以数列}{na“不是p摆动”数列；由nnqb，于是0121nnnqbb对任意n成立，其中0p.所以数列}{nb“是p摆动”数列.（2）由数列}{nc“为p摆动数列”，11c212c，即存在常数121p，使对任意正整数n，总有0))((1pcpcnn成立；即有0))((12pcpcnn成立.则0))((2pcpcnn，所以pcpcpcn1231.同理pcpcpcn242.所以122nncpc121211nncc，解得21512nc即215p.同理nncc2211，解得2152nc，即215p.综上215p.（3）证明：由)12()1(ndnnnSnn)1(，显然存在0p，使对任意正整数n，总有0)1()1(121nnSSnnn成立，所以数列}{nS“是p摆动数列”；当n为奇数时nSn递减，所以11SSn，只要1p即可当n为偶数时nSn递增，22SSn，只要2p即可综上21p，p的取值范围是)2,1(.