第5讲数学归纳法分层训练A级基础达标演练(时间：30分钟满分：60分)一、填空题(每小题5分，共30分)1“．用数学归纳法证明命题当n是正奇数时，xn＋yn能被x＋y”整除，在进行第二步证明时，给出四种证法．①假设n＝k(k∈N＋)，证明n＝k＋1命题成立；②假设n＝k(k是正奇数)，证明n＝k＋1命题成立；③假设n＝2k＋1(k∈N＋)，证明n＝k＋1命题成立；④假设n＝k(k是正奇数)，证明n＝k＋2命题成立．正确证法的序号是________．解析①②③中，k＋1不一定表示奇数，只有④中k为奇数，k＋2为奇数．答案④2．用数学归纳证明：对任意的n∈N*,34n＋2＋52n＋1能被14整除的过程中，当n＝k＋1时，34(k＋1)＋2＋52(k＋1)＋1可变形为________．答案34(34k＋2＋52k＋1)－52k＋1×563．(·寿光一中模拟)若存在正整数m，使得f(n)＝(2n－7)3n＋9(n∈N*)能被m整除，则m＝________.解析f(1)＝－6，f(2)＝－18，f(3)＝－18，猜想：m＝－6.答案64“．用数学归纳法证明n3＋(n＋1)3＋(n＋2)3(n∈N*)能被9”整除，要利用归纳假设证n＝k＋1时的情况，只需展开的式子是________．解析假设当n＝k时，原式能被9整除，即k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3能被9整除．当n＝k＋1时，(k＋1)3＋(k＋2)3＋(k＋3)3为了能用上面的归纳假设，只需将(k＋3)3展开，让其出现k3即可．答案(k＋3)35．用数学归纳法证明1＋2＋3…＋＋n2＝，则当n＝k＋1时左端应在n＝k的基础上加上________．解析 当n＝k时，左侧＝1＋2＋3…＋＋k2，当n＝k＋1时，左侧＝1＋2＋3…＋＋k2＋(k2＋1)…＋＋(k＋1)2，∴当n＝k＋1时，左端应在n＝k的基础上加上(k2＋1)＋(k2＋2)＋(k2＋3)…＋＋(k＋1)2.答案(k2＋1)＋(k2＋2)＋(k2＋3)…＋＋(k＋1)26．若f(n)＝12＋22＋32…＋＋(2n)2，则f(k＋1)与f(k)的递推关系式是________．解析 f(k)＝12＋22…＋＋(2k)2，∴f(k＋1)＝12＋22…＋＋(2k)2＋(2k＋1)2＋(2k＋2)2；∴f(k＋1)＝f(k)＋(2k＋1)2＋(2k＋2)2.答案f(k＋1)＝f(k)＋(2k＋1)2＋(2k＋2)2二、解答题(每小题15分，共30分)7．(·苏中三市调研)已知数列{an}满足：a1＝，an＋1＝(n∈N*)．(1)求a2，a3的值；(2)证明：不等式0
0.而ak＋2－ak＋1＝－＝＝>0，∴0
