第2讲导数的应用(一)A级基础演练(时间：30分钟满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．(·石景山模拟)若函数h(x)＝2x－＋在(1∞，＋)上是增函数，则实数k的取值范围是()．A．(－2∞，＋)B．(2∞，＋)C．(∞－，－2)D．(∞－，2)解析由条件得h′(x)＝2≥＋＝0在(1∞，＋)上恒成立，即k≥－2x2在(1∞，＋)上恒成立，所以k∈(－2∞，＋)．答案A2．(·郑州检测)函数f(x)＝(4－x)ex的单调递减区间是()．A．(∞－，4)B．(∞－，3)C．(4∞，＋)D．(3∞，＋)解析f′(x)＝ex＋(4－x)·ex＝ex(3－x)，令f′(x)<0，由于ex>0，∴3－x<0，解得x>3.答案D3．(·安庆模拟)下列函数中，在(0∞，＋)内为增函数的是()．A．f(x)＝sin2xB．f(x)＝xexC．f(x)＝x3－xD．f(x)＝－x＋lnx解析sin2x＝2sinxcosx，(sin2x)′＝2(cos2x－sin2x)，在(0∞，＋)不恒大于零；(x3－x)′＝3x2－1，在(0∞，＋)不恒大于零；(－x＋lnx)′＝－1＋在(0∞，＋)不恒大于零；(xex)′＝ex＋xex，当x∈(0∞，＋)时ex＋xex>0，故选B.答案B4．函数f(x)的定义域是R，f(0)＝2，对任意x∈R，f(x)＋f′(x)>1，则不等式ex·f(x)>ex＋1的解集为()．A．{x|x>0}B．{x|x<0}C．{x|x<－1或x>1}D．{x|x<－1或0ex－ex＝0，所以g(x)＝ex·f(x)－ex为R上的增函数，又因为g(0)＝e0·f(0)－e0＝1，所以原不等式转化为g(x)>g(0)，解得x>0.答案A二、填空题(每小题5分，共10分)5．函数y＝x－2sinx在[0，π]上的递增区间是________．解析y′＝1－2cosx，令1－2cosx≥0，得cosx≤，解得2kπ≤＋x≤2kπ＋π，k∈R，又0≤x≤π，∴≤x≤π.答案6．已知直线y＝x＋1与曲线y＝ln(x＋a)相切，则a的值为________．解析设切点坐标为(x0，y0)又y′＝，由已知条件解得a＝2.答案2三、解答题(共25分)7．(12分)设函数f(x)＝ax3－3x2，(a∈R)，且x＝2是y＝f(x)的极值点，求函数g(x)＝ex·f(x)的单调区间．解f′(x)＝3ax2－6x＝3x(ax－2)．因为x＝2是函数y＝f(x)的极值点．所以f′(2)＝0，即6(2a－2)＝0，因此a＝1，经验证，当a＝1时，x＝2是函数f(x)的极值点，所以g(x)＝ex(x3－3x2)，g′(x)＝ex(x3－3x2＋3x2－6x)＝ex(x3－6x)＝x(x＋)(x－)ex.因为ex>0，所以y＝g(x)的单调增区间是(－，0)和(∞，＋)；单调减区间是(∞－，－)和(0，)．8．(13分)已知函数f(x)＝x3＋ax2－x＋c，且a＝f′.(1)求a的值；(2)求函数f(x)的单调区间；(3)设函数g(x)＝(f(x)－x3)·ex，若函数g(x)在x∈[－3，2]上单调递增，求实数c的取值范围．解(1)由f(x)＝x3＋ax2－x＋c，得f′(x)＝3x2＋2ax－1.当x＝时，得a＝f′＝3×2＋2a×－1，解之，得a＝－1.(2)由(1)可知f(x)＝x3－x2－x＋c.则f′(x)＝3x2－2x－1＝3(x－1)，列表如下：x－1(1∞，＋)f′(x)＋0－0＋f(x)极大值极小值所以f(x)的单调递增区间是(∞－，－)和(1∞，＋)；f(x)的单调递减区间是.(3)函数g(x)＝(f(x)－x3)·ex＝(－x2－x＋c)·ex，有g′(x)＝(－2x－1)ex＋(－x2－x＋c)ex＝(－x2－3x＋c－1)ex，因为函数g(x)在x∈[－3,2]上单调递增，所以h(x)＝－x2－3x＋c－1≥0在x∈[－3,2]上恒成立．只要h(2)≥0，解得c≥11，所以c的取值范围是[11∞，＋)．探究提高利用导数研究函数单调性的一般步骤：(1)确定函数的定义域；(2)求导数f′(x)；(3)①若求单调区间(或证明单调性)，只需在函数f(x)的定义域内解(或证明)不等式f′(x)>0或f′(x)<0.②若已知f(x)的单调性，则转化为不等式f′(x)≥0或f′(x)≤0在单调区间上恒成立问题求解．B级能力突破(时间：30分钟满分：45分)一、选择题(每小题5分，共10分)1．定义在R上的函数y＝f(x)满足f(4－x)＝f(x)，(x－2)·f′(x)<0，若x14，则()．A．f(x1)f(x2)C．f(x1)＝f(x2)D．f(x1)与f(x2)的大小不确定解析 f(4－x)＝f(x)，∴函数f(x)的图象关于直线x＝2对称，由(x－2)f′(x)<0可得函数f(x)在(∞－，2)上单调递增，在(2∞，＋)上单调递减，∴当x2>x1>2时，f(x1)>f(x2)；当x2>2>x1时， x1＋x2>4，∴x2>4－x1>2，∴f(4－x1)＝f(x1)>f(x2)，综上，f(x1)>f(x2)，...
