高考数学 高频考点归类分析 导数的几何意义和应用导数求曲线的切线（真题为例）VIP免费

导数的几何意义和应用导数求曲线的切线典型例题：例1.（年全国课标卷文5分）曲线在点（1,1）处的切线方程为▲【答案】。【考点】导数的应用，曲线的切线方程。【解析】 ，∴。∴。∴曲线在点（1,1）处的切线方程为，即。例2.（年广东省理5分）曲线在点（1，3）处的切线方程为▲。【答案】。【考点】曲线的切线方程，导数的应用。【解析】 ，，∴由点斜式得所求的切线方程为，即。例3.（年辽宁省理5分）已知P，Q为抛物线上两点，点P，Q的横坐标分别为4，2，过P、Q分别作抛物线的切线，两切线交于A，则点A的纵坐标为▲。【答案】4。【考点】利用导数求切线方程的方法，直线的方程、两条直线的交点的求法。【解析】 点P，Q的横坐标分别为4，2，∴代人抛物线方程得P，Q的纵坐标分别为8，2。由得，∴。∴过点P，Q的抛物线的切线的斜率分别为4，2。∴过点P，Q的抛物线的切线方程分别为。[联立方程组解得。∴点A的纵坐标为4。例4.（年陕西省理5分）设函数，是由轴和曲线及该曲线在点处的切线所围成的封闭区域，则在上的最大值为▲.【答案】2。【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程，简单线性规划。【解析】先求出曲线在点（1，0）处的切线，然后画出区域D，利用线性规划的方法求出目标函数z的最大值即可： ，，∴曲线及该曲线在点处的切线方程为。∴由轴和曲线及围成的封闭区域为三角形。在点处取得最大值2。例5.（年北京市理13分）已知函数（1）若曲线与曲线在它们的交点（1，c）处具有公共切线，求a、b的值；（2）当时，求函数的单调区间，并求∞其在区间（－，－1）上的最大值。【答案】解：（1） （1，c）为公共切点，∴。∴，即①。又 ，∴。又 曲线与曲线在它们的交点（1，c）处具有公共切线，∴②。解①②，得。（2） ，∴设。则。令，解得。 ，∴。又 在各区间的情况如下：＋0－0＋∴在单调递增，在单调递减，在上单调递增。①若，即时，最大值为；②若，即时，最大值为。③若时，即时，最大值为。综上所述：当时，最大值为；当时，最大值为1。【考点】函数的单调区间和最大值，切线的斜率，导数的应用。【解析】（1）由曲线与曲线有公共点（1，c）可得；由曲线与曲线在它们的交点（1，c）处具有公共切线可得两切线的斜率相等，即。联立两式即可求出a、b的值。（2）由得到只含一个参数的方程，求导可得的单调区间；根据，和三种情况讨论的最大值。例6.（年四川省理14分）已知为正实数，为自然数，抛物线与轴正半轴相交于点，设为该抛物线在点处的切线在轴上的截距。（Ⅰ）用和表示；（Ⅱ）求对所有都有成立的的最小值；（Ⅲ）当时，比较与的大小，并说明理由。【答案】解：（Ⅰ）由已知得，交点A的坐标为，对求导得。∴抛物线在点A处的切线方程为，即。∴。（Ⅱ）由（1）知，则成立的充要条件是。即知，对于所有的n成立，特别地，取n=2时，得到。当时,。当n=0，1，2时，显然。∴当时，对所有自然数都成立。∴满足条件的的最小值是。（Ⅲ）由（1）知，则，。下面证明：。首先证明：当0