导数的几何意义和应用导数求曲线的切线典型例题:例1.(年全国课标卷文5分)曲线在点(1,1)处的切线方程为▲【答案】。【考点】导数的应用,曲线的切线方程。【解析】 ,∴。∴。∴曲线在点(1,1)处的切线方程为,即。例2.(年广东省理5分)曲线在点(1,3)处的切线方程为▲。【答案】。【考点】曲线的切线方程,导数的应用。【解析】 ,,∴由点斜式得所求的切线方程为,即。例3.(年辽宁省理5分)已知P,Q为抛物线上两点,点P,Q的横坐标分别为4,2,过P、Q分别作抛物线的切线,两切线交于A,则点A的纵坐标为▲。【答案】4。【考点】利用导数求切线方程的方法,直线的方程、两条直线的交点的求法。【解析】 点P,Q的横坐标分别为4,2,∴代人抛物线方程得P,Q的纵坐标分别为8,2。由得,∴。∴过点P,Q的抛物线的切线的斜率分别为4,2。∴过点P,Q的抛物线的切线方程分别为。[联立方程组解得。∴点A的纵坐标为4。例4.(年陕西省理5分)设函数,是由轴和曲线及该曲线在点处的切线所围成的封闭区域,则在上的最大值为▲.【答案】2。【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程,简单线性规划。【解析】先求出曲线在点(1,0)处的切线,然后画出区域D,利用线性规划的方法求出目标函数z的最大值即可: ,,∴曲线及该曲线在点处的切线方程为。∴由轴和曲线及围成的封闭区域为三角形。在点处取得最大值2。例5.(年北京市理13分)已知函数(1)若曲线与曲线在它们的交点(1,c)处具有公共切线,求a、b的值;(2)当时,求函数的单调区间,并求∞其在区间(-,-1)上的最大值。【答案】解:(1) (1,c)为公共切点,∴。∴,即①。又 ,∴。又 曲线与曲线在它们的交点(1,c)处具有公共切线,∴②。解①②,得。(2) ,∴设。则。令,解得。 ,∴。又 在各区间的情况如下:+0-0+∴在单调递增,在单调递减,在上单调递增。①若,即时,最大值为;②若,即时,最大值为。③若时,即时,最大值为。综上所述:当时,最大值为;当时,最大值为1。【考点】函数的单调区间和最大值,切线的斜率,导数的应用。【解析】(1)由曲线与曲线有公共点(1,c)可得;由曲线与曲线在它们的交点(1,c)处具有公共切线可得两切线的斜率相等,即。联立两式即可求出a、b的值。(2)由得到只含一个参数的方程,求导可得的单调区间;根据,和三种情况讨论的最大值。例6.(年四川省理14分)已知为正实数,为自然数,抛物线与轴正半轴相交于点,设为该抛物线在点处的切线在轴上的截距。(Ⅰ)用和表示;(Ⅱ)求对所有都有成立的的最小值;(Ⅲ)当时,比较与的大小,并说明理由。【答案】解:(Ⅰ)由已知得,交点A的坐标为,对求导得。∴抛物线在点A处的切线方程为,即。∴。(Ⅱ)由(1)知,则成立的充要条件是。即知,对于所有的n成立,特别地,取n=2时,得到。当时,。当n=0,1,2时,显然。∴当时,对所有自然数都成立。∴满足条件的的最小值是。(Ⅲ)由(1)知,则,。下面证明:。首先证明:当0