第3讲导数与函数的单调性、极值与最值的基本问题一、选择题1．函数f(x)＝x2－lnx的单调递减区间为()．A．(－1,1]B．(0,1]C．[1∞，＋)D．(0∞，＋)解析由题意知，函数的定义域为(0∞，＋)，又由f′(x)＝x≤－0，解得00，∴f(x)在x＝1处取到极小值．故选C.答案C4．设函数f(x)的定义域为R，x0(x0≠0)是f(x)的极大值点，以下结论一定正确的是()．A．∀x∈R，f(x)≤f(x0)B．－x0是f(－x)的极小值点C．－x0是－f(x)的极小值点D．－x0是－f(－x)的极小值点解析A错，因为极大值未必是最大值；B错，因为函数y＝f(x)与函数y＝f(－x)的图象关于y轴对称，－x0应是f(－x)的极大值点；C错，函数y＝f(x)与函数y＝－f(x)的图象关于x轴对称，x0应为－f(x)的极小值点；D正确，函数y＝f(x)与y＝－f(－x)的图象关于原点对称，－x0应为y＝－f(－x)的极小值点．答案D二、填空题5．(·盐城模拟)已知f(x)＝x2＋2xf′(2014)＋2014lnx，则f′(2014)＝_____.解析因为f′(x)＝x＋2f′(2014)＋，所以f′(2014)＝2014＋2f′(2014)＋，即f′(2014)＝－(2014＋1)＝－2015.答案－20156．函数f(x)＝2mcos2＋1的导函数的最大值等于1，则实数m的值为________．解析显然m≠0，所以f(x)＝2mcos2＋1＝m＋m＋1＝mcosx＋m＋1，因此f′(x)＝－msinx，其最大值为1，故有m＝±1.答案±17．已知函数f(x)＝x2－ax＋3在(0,1)上为减函数，函数g(x)＝x2－alnx在(1,2)上为增函数，则a的值等于________．解析 函数f(x)＝x2－ax＋3在(0,1)上为减函数，∴≥1，得a≥2.又 g′(x)＝2x－，依题意g′(x)≥0在x∈(1,2)上恒成立，得2x2≥a在x∈(1,2)上恒成立，有a≤2，∴a＝2.答案28．(·绍兴模拟)若a>0，b>0，且函数f(x)＝4x3－ax2－2bx＋2在x＝1处有极值，则ab的最大值为________．解析依题意知f′(x)＝12x2－2ax－2b，∴f′(1)＝0，即12－2a－2b＝0，∴a＋b＝6.又a>0，b>0，∴ab≤2＝9，当且仅当a＝b＝3时取等号，∴ab的最大值为9.答案9三、解答题9．设f(x)＝a(x－5)2＋6lnx，其中a∈R，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与y轴相交于点(0,6)．(1)确定a的值；(2)求函数f(x)的单调区间与极值．解(1)因f(x)＝a(x－5)2＋6lnx，故f′(x)＝2a(x－5)＋.令x＝1，得f(1)＝16a，f′(1)＝6－8a，所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y－16a＝(6－8a)(x－1)，由点(0,6)在切线上可得6－16a＝8a－6，故a＝.(2)由(1)知，f(x)＝(x－5)2＋6lnx(x>0)，f′(x)＝x－5＋＝.令f′(x)＝0，解得x＝2或3.当03时，f′(x)>0，故f(x)在(0,2)，(3∞，＋)上为增函数；当20时，g(x)>0，求b的最大值．解(1)f′(x)＝ex＋e－x－2≥0，等号仅当x＝0时成立．所以f(x)在(∞∞－，＋)单调递增．(2)g(x)＝f(2x)－4bf(x)＝e2x－e－2x－4b(ex－e－x)＋(8b－4)x，g′(x)＝2[e2x＋e－2x－2b(ex＋e－x)＋(4b－2)]＝2(ex＋e－x－2)(ex＋e－x－2b＋2)．①当b≤2时，g′(x)≥0，等号仅当x＝0时成立，所以g(x)在(∞∞...
