第1讲数列的概念及简单表示法最新考纲1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式)；2.了解数列是自变量为正整数的一类函数．知识梳理1．数列的定义按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．2．数列的分类分类原则类型满足条件按项数分类有穷数列项数有限无穷数列项数无限按项与项间的大小关系分类递增数列an＋1＞an其中n∈N*递减数列an＋1＜an常数列an＋1＝an按其他标准分类有界数列存在正数M，使|an|≤M摆动数列从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列3.数列的表示法数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和解析法．4．数列的通项公式如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．5．已知数列{an}的前n项和Sn，则an＝诊断自测1．判断正误(“√”“在括号内打或×”)精彩PPT展示(1)所有数列的第n项都能使用公式表达．(×)(2)根据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个．(√)(3)任何一个数列不是递增数列，就是递减数列．(×)(4)如果数列{an}的前n项和为Sn，则对∀n∈N*，都有an＝Sn－Sn－1.(×)2．(·保定调研)在数列{an}中，已知a1＝1，an＋1＝2an＋1，则其通项公式为an＝()A．2n－1B．2n－1＋1C．2n－1D．2(n－1)解析法一由an＋1＝2an＋1，可求a2＝3，a3＝7，a4＝15…，，验证可知an＝2n－1.法二由题意知an＋1＋1＝2(an＋1)，∴数列{an＋1}是以2为首项，2为公比的等比数列，∴an＋1＝2n，∴an＝2n－1.答案A3．设数列{an}的前n项和Sn＝n2，则a8的值为()A．15B．16C．49D．64解析当n＝8时，a8＝S8－S7＝82－72＝15.答案A4．(·新课标全国Ⅱ卷)数列{an}满足an＋1＝，a8＝2，则a1＝________．解析由an＋1＝，得an＝1－， a8＝2，∴a7＝1－＝，a6＝1－＝－1，a5＝1－＝2…，，∴{an}是以3为周期的数列，∴a1＝a7＝.答案5．(人教A必修5P33A5改编)根据下面的图形及相应的点数，写出点数构成的数列的一个通项公式an＝________．答案5n－4考点一由数列的前几项求数列的通项【例1】根据下面各数列前几项的值，写出数列的一个通项公式：(1)－1，7，－13，19…，；(2)…，，，，，；(3)，2，，8…，，；(4)5，55，555，5555…，.解(1)偶数项为正，奇数项为负，故通项公式必含有因式(－1)n，观察各项的绝对值，后一项的绝对值总比它前一项的绝对值大6，故数列的一个通项公式为an＝(－1)n(6n－5)．(2)这是一个分数数列，其分子构成偶数数列，而分母可分解为1×3，3×5，5×7，7×9，9×11…，，每一项都是两个相邻奇数的乘积．故所求数列的一个通项公式为an＝.(3)数列的各项，有的是分数，有的是整数，可将数列的各项都统一成分数再观察．即…，，，，，，从而可得数列的一个通项公式为an＝.(4)将原数列改写为×9，×99，×999…，，易知数列9，99，999…，的通项为10n－1，故所求的数列的一个通项公式为an＝(10n－1)．规律方法根据所给数列的前几项求其通项时，需仔细观察分析，抓住以下几方面的特征：分式中分子、分母的各自特征；相邻项的联系特征；拆项后的各部分特征；符号特征．应多进行对比、分析，从整体到局部多角度观察、归纳、联想．【训练1】(1)数列－，，－…，，的一个通项公式an＝________．(2)数列{an}的前4项是，1，，，则这个数列的一个通项公式是an＝________．解析(1)这个数列前4项的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数，且奇数项为负，偶然项为正，所以它的一个通项公式为an＝(－1)n.(2)数列{an}的前4项可变形为，，，，故an＝.答案(1)(－1)n(2)考点二利用Sn与an的关系求通项【例2】设数列{an}的前n项和为Sn，数列{Sn}的前n项和为Tn，满足Tn＝2Sn－n2，n∈N*.(1)求a1的值；(2)求数列{an}的通项公式．解(1)令n＝1时，T1＝2S1－1， T1＝S1＝a1，∴a1＝2a1－1，∴a1＝1.(2)n≥2时，Tn－1＝2Sn－1－(n－1)2，则Sn＝Tn－Tn－1＝2Sn－n2－[2Sn－1－(n－1)2]＝2(Sn－Sn－1)－2n＋1＝2an－2n＋1.因为当n＝1时，a1＝S1＝1也满足上式，所以Sn＝2an－2n＋1(n≥1)，当n≥2时，Sn－1＝2an－1－2(n－1)＋1，两式相减得an＝2an－2an－1－2...
