第5讲数列的综合应用分层训练A级基础达标演练(时间：30分钟满分：60分)一、填空题(每小题5分，共30分)1．已知各项均不为0的等差数列{an}，满足2a3－a＋2a11＝0，数列{bn}是等比数列，且b7＝a7，则b6b8＝________.解析因为{an}为等差数列，所以a3＋a11＝2a7，所以已知等式可化为4a7－a＝0，解得a7＝4或a7＝0(舍去)，又{bn}为等比数列，所以b6b8＝b＝a＝16.答案162．在如图所示的表格中，如果每格填上一个数后，每一行成等差数列，每一列成等比数列，那么x＋y＋z的值为________.2412xyz解析由题知表格中第三列中的数成首项为4，公比为的等比数列，故有x＝1.根据每行成等差数列得第四列前两个数字依次为5，，故第四列的公比为，所以y＝5×3＝，同理z＝6×4＝，故x＋y＋z＝2.答案23．设关于x的不等式x2－x＜2nx(n∈N*)的解集中整数的个数为an，数列{an}的前n项和为Sn，则S100的值为________．解析由x2－x＜2nx(n∈N*)，得0＜x＜2n＋1，因此知an＝2n.∴S100＝＝10100.答案101004．数列{an}的通项an＝n2，其前n项和为Sn，则S30为________．解析注意到an＝n2cos，且函数y＝cos的最小正周期是3，因此当n是正整数时，an＋an＋1＋an＋2＝－n2－(n＋1)2＋(n＋2)2＝3n＋，其中n＝1,4,7…，，S30＝(a1＋a2＋a3)＋(a4＋a5＋a6)…＋＋(a28＋a29＋a30)…＝＋＋＋＝3×＋×10＝470.答案4705．对正整数n，若曲线y＝xn(1－x)在x＝2处的切线与y轴交点的纵坐标为an，则数列的前n项和为________．解析由题意，得y′＝nxn－1－(n＋1)xn，故曲线y＝xn(1－x)在x＝2处的切线的斜率为k＝n2n－1－(n＋1)2n，切点为(2，－2n)，所以切线方程为y＋2n＝k(x－2)．令x＝0得an＝(n＋1)2n，即＝2n，则数列的前n项和为2＋22＋23…＋＋2n＝2n＋1－2.答案2n＋1－26．在数列{an}中，若a－a＝p(n≥1，n∈N*，p为常数)，则称{an}“”为等方差数列，下列“”是对等方差数列的判断：①若{an}是等方差数列，则{a}是等差数列；②{(－1)n}是等方差数列；③若{an}是等方差数列，则{akn}(k∈N*，k为常数)也是等方差数列．其中真命题的序号为________(将所有真命题的序号填在横线上)．解析①正确，因为a－a＝p，所以a－a＝－p，于是数列{a}为等差数列．②正确，因为(－1)2n－(－1)2(n＋1)＝0为常数，于是数列{(－1)n}为等方差数列．③正确，因为a－a＝(a－a)＋(a－a)＋(a－a)…＋＋(a－a)＝kp，则{akn}(k∈N*，k为常数)也是等方差数列．答案①②③二、解答题(每小题15分，共30分)7．(·江苏)设{an}是公差不为零的等差数列，Sn为其前n项和，满足a＋a＝a＋a，S7＝7.(1)求数列{an}的通项公式及前n项和Sn；(2)试求所有的正整数m，使得为数列{an}中的项．解(1)由题意，设等差数列{an}的通项公式为an＝a1＋(n－1)d，d≠0.由a＋a＝a＋a知2a1＋5d＝0.①又因为S7＝7，所以a1＋3d＝1.②由①②可得a1＝－5，d＝2.所以数列{an}的通项公式an＝2n－7，Sn＝＝n2－6n.(2)因为＝＝am＋2－6＋为数列{an}中的项，故为整数，又由(1)知am＋2为奇数，所以am＋2＝2m－3＝±1，即m＝1,2.经检验，符合题意的正整数只有m＝2.8．在数列{an}中，an＋1＋an＝2n－44(n∈N*)，a1＝－23.(1)求an；(2)设Sn为{an}的前n项和，求Sn的最小值．解(1)由an＋1＋an＝2n－44(n∈N*)，an＋2＋an＋1＝2(n＋1)－44.∴an＋2－an＝2，又a2＋a1＝2－44，∴a2＝－19.同理得：a3＝－21，a4＝－17.故a1，a3，a5…，是以a1为首项、2为公差的等差数列，a2，a4，a6…，是以a2为首项、2为公差的等差数列．从而an＝(2)当n为偶数时，Sn＝(a1＋a2)＋(a3＋a4)…＋＋(an－1＋an)＝(2×1－44)＋(2×3－44)…＋＋[2×(n－1)－44]＝2[1＋3…＋＋(n－1)]－·44＝－22n，故当n＝22时，Sn取得最小值－242.当n为奇数时，Sn＝a1＋(a2＋a3)＋(a4＋a5)…＋＋(an－1＋an)＝a1＋(2×2－44)…＋＋[2×(n－1)－44]＝a1＋2[2＋4…＋＋(n－1)]＋·(－44)＝－23＋－22(n－1)＝－22n－.故当n＝21或n＝23时，Sn取得最小值－243.综上所述：当n为偶数时，Sn取得最小值为－242；当n为奇数时，Sn取最小值为－243.分层训练B级创新能力提升1．设{an}是公比为q的等比数列，|q|>1，令bn＝an＋1(n＝1,2…，)，若数列{bn}有连续四...
