第十章圆锥曲线与方程第1讲椭圆分层训练A级基础达标演练(时间：30分钟满分：60分)一、填空题(每小题5分，共30分)1．已知椭圆的长轴长是短轴长的倍，则椭圆的离心率e＝________.解析由题意得2a＝2b⇒a＝b，又a2＝b2＋c2⇒b＝c⇒a＝c⇒e＝.答案2．中心在原点，焦点在x轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是________．解析依题意知：2a＝18，∴a＝9,2c＝×2a，∴c＝3，∴b2＝a2－c2＝81－9＝72，∴椭圆方程为＋＝1.答案＋＝13．(·西安模拟)以F1(0，－1)，F2(0,1)为焦点的椭圆C过点P，则椭圆C的方程为________．解析由题意得，c＝1,2a＝PF1＋PF2＝＋＝2.故a＝，b＝1.则椭圆的标准方程为x2＋＝1.答案x2＋＝14．(·常州调研一)在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆＋＝1(a>b>0)的右顶点为A，上顶点为B，M为线段AB的中点，若∠MOA＝30°，则该椭圆的离心率的值为________．解析由∠MOA＝30°，结合图形可有b＝，则a＝b，从而离心率e＝＝.答案5．(·惠州调研二)已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为，且椭圆G上一点到其两个焦点的距离之和为12，则椭圆G的方程为________．解析依题意设椭圆G的方程为＋＝1(a＞b＞0)， 椭圆上一点到其两个焦点的距离之和为12，∴2a＝12，∴a＝6， 椭圆的离心率为.∴＝，∴＝.解得b2＝9，∴椭圆G的方程为：＋＝1.答案＋＝16．(·盐城模拟)已知椭圆＋y2＝1的左、右焦点分别为F1、F2，点M在该椭圆上，且MF1·MF2＝0，则点M到y轴的距离为________．解析由题意，得F1(－，0)，F2(，0)．设M(x，y)，则MF1·MF2＝(－－x，－y)·(－x，－y)＝0，整理得x2＋y2＝3.①又因为点M在椭圆上，故＋y2＝1，即y2＝1－.②将②代入①，得x2＝2，解得x＝±.故点M到y轴的距离为.答案二、解答题(每小题15分，共30分)7.如图，已知椭圆E经过点A(2,3)，对称轴为坐标轴，焦点F1，F2在x轴上，离心率e＝.(1)求椭圆E的方程；(2)求∠F1AF2的角平分线所在直线l的方程．解(1)设椭圆E的方程为＋＝1(a>b>0)，由e＝，即＝，得a＝2c，得b2＝a2－c2＝3c2.∴椭圆方程可化为＋＝1.将A(2,3)代入上式，得＋＝1，解得c＝2，∴椭圆E的方程为＋＝1.(2)由(1)知F1(－2,0)，F2(2,0)，∴直线AF1的方程为y＝(x＋2)，即3x－4y＋6＝0，直线AF2的方程为x＝2.由点A在椭圆E上的位置知，直线l的斜率为正数．设P(x，y)为l上任一点，则＝|x－2|.若3x－4y＋6＝5x－10，得x＋2y－8＝0(因其斜率为负，舍去)．于是，由3x－4y＋6＝－5x＋10，得2x－y－1＝0，∴直线l的方程为2x－y－1＝0.8．(·天津卷)设椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2.点P(a，b)满足|PF2|＝|F1F2|.(1)求椭圆的离心率e；(2)设直线PF2与椭圆相交于A，B两点，若直线PF2与圆(x＋1)2＋(y－)2＝16相交于M，N两点，且|MN|＝|AB|，求椭圆的方程．解(1)设F1(－c,0)，F2(c,0)，(c>0)，因为|PF2|＝|F1F2|，所以＝2c.整理得22＋－1＝0，得＝－1(舍)，或＝.所以e＝.(2)由(1)知a＝2c，b＝c，可得椭圆方程为3x2＋4y2＝12c2，直线PF2的方程为y＝(x－c)．A、B两点的坐标满足方程组消去y并整理，得5x2－8cx＝0.解得x1＝0，x2＝c.得方程组的解为不妨设A，B(0，－c)，所以|AB|＝＝c.于是|MN|＝|AB|＝2c.圆心(－1，)到直线PF2的距离d＝＝.因为d2＋2＝42，所以(2＋c)2＋c2＝16.整理得7c2＋12c－52＝0.得c＝－(舍)，或c＝2.所以椭圆方程为＋＝1.分层训练B级创新能力提升1．(·汕头一模)已知椭圆＋＝1上有一点P，F1，F2是椭圆的左、右焦点，若△F1PF2为直角三角形，则这样的点P有________个．解析当∠PF1F2为直角时，根据椭圆的对称性知，这样的点P有2个；同理当∠PF2F1为直角时，这样的点P有2个；当P点为椭圆的短轴端点时，∠F1PF2最大，且为直角，此时这样的点P有2个．故符合要求的点P有6个．答案62．(·镇江调研一)已知F1(－c,0)，F2(c,0)为椭圆＋＝1(a＞b＞0)的两个焦点，P为椭圆上一点且PF1·PF2＝c2，则此椭圆离心率的取值范围是________．解析设P(x，y)，则PF1·PF2＝(－c－x，－y)·(c－x，－y)＝x2－c2＋y2＝c2①将y2＝b2－x2代入①式解得x2＝，又x2∈[0，a2]∴2c2≤a2≤3c2，∴e＝∈.答案3．(·扬州调研)点M是椭圆＋＝1(...
