本章归纳整合知识网络要点归纳1．归纳和类比都是合情推理，前者是由特殊到一般，部分到整体的推理，后者是由特殊到特殊的推理，但二者都能由已知推测未知，都能用于猜想，推理的结论不一定为真，有待进一步证明．2．演绎推理与合情推理不同，是由一般到特殊的推理，是数学中证明的基本推理形式．也是公理化体系所采用的推理形式，另一方面，合情推理与演绎推理又是相辅相成的，前者是后者的前提，后者论证前者的可靠性．3．直接证明和间接证明是数学证明的两类基本证明方法．直接证明的两类基本方法是综合法和分析法：综合法是从已知条件推导出结论的证明方法；分析法是由结论追溯到条件的证明方法，在解决数学问题时，常把它们结合起来使用，间接证法的一种方法是反证法，反证法是从结论反面成立出发，推出矛盾的证明方法．4．数学归纳法主要用于解决与正整数有关的数学问题．证明时，它的两个步骤缺一不可．它的第一步(归纳奠基)n＝n0时结论成立．第二步(归纳递推)假设n＝k时，结论成立，推得n＝k＋1时结论也成立．数学归纳法原理建立在归纳公理的基础上，它可用有限的步骤(两步)证明出无限的命题成立．5．归纳、猜想、证明探索性命题是近几年高考试题中经常出现的一种题型，此类问题未给出问题结论，需要由特殊情况入手，猜想、证明一般结论的问题称为探求规律性问题，它的解题思想是：从给出的条件出发，通过观察、试验、归纳、猜想，探索出结论，然后再对归纳、猜想的结论进行证明．专题一归纳推理和类比推理归纳推理和类比推理是常用的合情推理，两种推理的结论“”“”合情但不一定合理，其正确性都有待严格证明．尽管如此，合情推理在探索新知识方面有着极其重要的作用．运用合情推理时，要认识到观察、归纳、类比、猜想、证明是相互联系的．在解决问题时，可以先从观察入手，发现问题的特点，形成解决问题的初步思路，然后用归纳、类比的方法进行探索、猜想，最后用逻辑推理方法进行验证．【例1】如图所示，由正整数排成的三角形数表，第n行首尾两数均为n，记第n(n>1)行第2个数为f(n)，根据数表中上下两行的数据关系可以得到递推关系________，并通过有关求解可以得到通项f(n)＝________.解析由数表知f(3)比f(2)多2，f(4)比f(3)多3，f(5)比f(4)多4…归纳得f(n)比f(n－1)多n－1，故得递推关系：f(n)－f(n－1)＝n－1，即f(n)＝f(n－1)＋n－1.∴f(3)－f(2)＝2，f(4)－f(3)＝3，…，f(n)－f(n－1)＝n－1.上述式子相加得f(n)－f(2)＝2＋3＋…＋(n－1)，∴f(n)＝1＋[1＋2＋…＋(n－1)]＝1＋nn－12＝n2－n＋22.答案f(n)＝f(n－1)＋n－1(n>1)n2－n＋22【例2】自然数按下表的规律排列则上起第2007行，左起第2008列的数为()．A．20072B．20082C．2006×2007D．2007×2008解析经观察可得这个自然数表的排列特点：①第一列的每个数都是完全平方数，并且恰好等于它所在行数的平方，即第n行的第1个数为n2；②第一行第n个数为(n－1)2＋1；③第n行从第1个数至第n个数依次递减1；④第n列从第1个数至第n个数依次递增1.故上起第2007行，左起第2008列的数，应是第2008列的第2007个数，即为[(2008－1)2＋1]＋2006＝2007×2008.答案D【例3】一直线与△ABC的边AB，AC分别相交于E，F，则S△AEFS△ABC＝AE·AFAB·AC.将平面上的三角形与空间中的三棱锥进行类比，试推理三棱锥的性质，并给出证明．解在三棱锥SABC中，平面α与侧棱SA，SB，SC分别相交于D，E，F.则VS－DEFVS－ABC＝SD·SE·SFSA·SB·SC.证明如下：设∠BSC＝α，SA和平面SBC所成的角为β.则VSDEF＝13·SD·sinβ·S△SEF＝16SD·sinβ·SE·SF·sinα＝16SD·SE·SF·sinα·sinβ，同理，VSABC＝16SA·SB·SC·sinα·sinβ，∴VSDEFVS－ABC＝SD·SE·SFSA·SB·SC.专题二直接证明由近三年的高考题可以看出，直接证明的考查中，各种题型均有体现，尤其是解答题，几年来一直是考查证明方法的热点与重点．综合法和分析法是直接证明中最基本的两种证明方法，也是解决数学问题常用的思维方式．如果从解题的切入点的角度细分，直接证明方法可具体分为：比较法、代换法、放缩法、判别式法、构造函数法等，应用综合法证明问题时，必须首...
