有限元方法及软件应用有限元平面问题3VIP免费

FiniteElementMethod3．面力的移置设三角形单元某边界s上受面力q作用，分量为，，则取ds则由一般公式：积分在边界s上以上三种载荷的等效节点荷载由公式e导出通常我们称：为荷载移量的一般公式：几点说明：1．虚功等效静力等效。唯一性2．一般3．更多节点的单元公式形式不变，但不同4．虽然公式e导出但对于面力和体力的计算都是很麻烦和困难的N为x,y的函数，若p,q再为x,y的函数则更难，且单移分限不好定。因此，我们将来还要进一步把这个问题解决好。四．三角形单元的面积坐标（自然坐标，局部坐标）1．面积坐标的定义：图示三角形单元I,j,k中任意一点m，其位置可由xoy坐标系中两个坐标来确定，即m(x,y)若我们连接,,,则形成了3个小三角形ijm,ikm,jkm.则有：若m(x,y)确定ijm,ikm,jkm.面积确定。反之，ijm,ikm,jkm.面积确定m(x,y)确定（用同底等高的概念解释！！）因此，三角形单元内任一点可以我们如何用三角形面积来描述m点的位置呢？定义：节点I对边为底的三角形面积为;节点j对边为底的三角形面积为;节点k对边为底的三角形面积为;设三角形单元的面积为A令（2-37）则三个比值，，称为三角形单元中m点的面积坐标.2.三角形面积坐标的性质：1》面积坐标为三角形单元的局部坐标，与三角形的形状及位置无关。其定义域为；2》三个面积坐标之和：++=1.即只有两个面积坐标是独立的。（2-38）证明：++=++=（++）=1（亦可几何解释）。3》三角形单元内与jk边平行的直线上各点相同（轮换）。（同底等高三角形=）4》形心处的面积坐标为：===1/3（2-39）5》三角形单元节点的面积坐标为：（2-40）证：节点I:=A.==0.3.三角形面积坐标与直角坐标及形函数的关系下面我们来推导面积坐标与直角坐标的关系：设m点的坐标为m(x,y),m为任一点则：==（）=[（）+（）+（）]显然：，，=（）（2-41）与表达式比较可知：三节点三角形单元的面积坐标就是其形函数。（对于一般的情况：面积坐标永远是线性坐标而形函数可以是非线性的，以后我们可以把形函数用面积坐标表示）即=，，（2-42）具有的全部性质式（2-41）还可写成矩阵的形式：直面（2-44）这就是直角坐标与面积坐标的转换关系。下面的结果留给大家自己证明：面直（2-45）4．面积坐标函数的运算我们可以不加证明得地给出面积坐标函数的微积运算结果。（证明复杂麻烦用Г函数等）1.偏导设z=f(,,)=g(x,y)(I=I,j,k)则：（2-46）2．面积分（2-47）其中，，为正整数；0!1,A:三角形面积ex:(I=I,j,k)3.线积分：（s为直线长）（2-48）以上公式要会用注意表示的边五．三角形单元的荷载移置有了面积坐标与形函数的关系，我们即可对荷载移置进行计算了。1．集中力的移置设m点作用有集中力m点的形函数为：(I=I,j,k)等效节点荷载为：这就是三角形单元内m点作用有的等效节点荷载。只要计算出(I=I,j,k)即可。作为特例，考虑三角形单元形心处重力的移置。形心坐标：===0===-R故：重力作用于形心时各节点均担。2.体积力的移置设单元作用有体力则等效节点荷载为：=若为x,y的函数，则把用面积坐标表示（转换）在常体力的作用下有：===即：常体力作用下，总体力均分三节点。2．面力的移置。设三角形单元I,j边上作用有梯形分布的面力q由面力移置公式得：（可分别由节点合力表示及用节点分力表示）==（q为合力，非分力）则==q为x,y的函数，把q表示面积坐标的函数有q=，在门边上是线性坐标，可利用两点式方程写出。则：=====同理：===+注意到在s上=0=0故：==或：=此法：1.避免复杂的分离。2.便于编程计算。特例：若分布荷载为三角形分布。令（或）则有：=（近端为2，远端为1）说明：用以上积分的方法求等效节点荷载适用于任意节点的三角形单元，形函数也未必是线性的。六．三角形单元节点荷载的形成经过荷载处理后，我们已把非节点的荷载转化为常点荷载。实际计算的荷载为：计算荷载=原节点荷载+等效节点荷载即：（2-49）等效节点荷载要注意：1．同时贡献的问题2．用哪个单元计算的问题。七．计算结果的整理：有限元计算提供的结果一般为：1。节点位移2。单元应力1．节点位移的处理：一般把节点位移按比例标出，提供出结构常点位移分布规律1．连成折线（线性位移函数）2．连成光滑...