第56讲二项式定理[解密考纲]对二项式定理的考查主要涉及利用通项公式求展开式、特定项或参数值，利用二项式的性质求多项式的二项式系数、各项系数的和，一般以选择题、填空题的形式出现．一、选择题1．二项式10的展开式中的常数项是(A)A．180B．90C．45D．360解析10的展开式的通项为Tk＋1＝C·()10－k·k＝2kCx5－k，令5－k＝0，得k＝2，故常数项为22C＝180.2．设n为正整数，2n展开式中存在常数项，则n的一个可能取值为(B)A．16B．10C．4D．2解析2n展开式的通项公式为Tk＋1＝Cx2n－k·k＝C(－1)kx，令＝0，得k＝，依据选项知n可取10.3.6的展开式的第二项的系数为－，则x2dx的值为(B)A．3B．C．3或D．3或－解析该二项展开式的第二项的系数为Ca5，由Ca5＝－，解得a＝－1，因此x2dx＝x2dx＝|＝－＋＝.4．已知(1＋x)10＝a0＋a1(1－x)＋a2(1－x)2＋…＋a10(1－x)10，则a8＝(D)A．－5B．5C．90D．180解析∵(1＋x)10＝[2－(1－x)]10＝a0＋a1(1－x)＋a2(1－x)2＋…＋a10(1－x)10，∴a8＝C·22·(－1)8＝180，故选D．5．若(＋)5展开式的第三项为10，则y关于x的函数图象的大致形状为(D)解析(＋)5的展开式的通项为Tr＋1＝Cxy，则T3＝Cxy＝10，即xy＝1，由题意知x≥0，故D选项的图象符合．6．在(2x＋xlgx)8的展开式中，二项式系数最大的项的值等于1120，则x＝(C)A．1B．C．1或D．－1解析二项式系数最大的项为第5项，由题意可知T5＝C(2x)4·(xlgx)4＝1120，∴x4(1＋lgx)＝1，两边取对数可知lg2x＋lgx＝0，得lgx＝0或lgx＝－1，故x＝1或x＝.二、填空题7．(2017·浙江卷)已知多项式(x＋1)3(x＋2)2＝x5＋a1x4＋a2x3＋a3x2＋a4x＋a5，则a4＝__16__，a5＝__4__.解析由题意知a4为展开式含x的项的系数，根据二项式定理得a4＝C×12×C×22＋C×13×C×2＝16，a5是常数项，所以a5＝C×13×C×22＝4.8．(2016·全国卷Ⅰ)(2x＋)5的展开式中，含x3项的系数是__10__(用数字填写答案)．解析由(2x＋)5得Tr＋1＝C(2x)5－r()r＝25－rCx5－，1令5－＝3得r＝4，此时系数为10.9．若二项式n的展开式中的常数项是80，则该展开式的二项式系数之和等于__32__.解析对于Tr＋1＝C()n－rr＝C2rx－，当r＝n时展开式为常数项，因此n为5的倍数，不妨设n＝5m，则有r＝3m，则23mC＝80，因此m＝1，则该展开式中的二项式系数之和等于2n＝25＝32.三、解答题10．已知在n的展开式中，第6项为常数项．(1)求n；(2)求含x2的项的系数；(3)求展开式中所有的有理项．解析(1)依题意知n的展开式的通项为Tr＋1＝C()n－rr＝rCx，又第6项为常数项，则当r＝5时，＝0，即＝0，解得n＝10.(2)由(1)得Tr＋1＝rCx，令＝2，解得r＝2，故含x2的项的系数为2C＝.(3)若Tr＋1为有理项，则有∈Z，且0≤r≤10，r∈Z，故r＝2,5,8，则展开式中的有理项分别为T3＝C2x2＝x2，T6＝C5＝－，T9＝C8x－2＝x－2.11．已知(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7，求：(1)a1＋a2＋…＋a7；(2)a1＋a3＋a5＋a7；(3)a0＋a2＋a4＋a6；(4)|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|.解析令x＝1，得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝－1.①令x＝－1，得a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6－a7＝37.②(1)∵a0＝C＝1，∴a1＋a2＋a3＋…＋a7＝－2.(2)(①－②)÷2，得a1＋a3＋a5＋a7＝＝－1094.(3)(①＋②)÷2，得a0＋a2＋a4＋a6＝＝1093.(4)∵(1－2x)7展开式中a0，a2，a4，a6大于零，而a1，a3，a5，a7小于零，∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|＝(a0＋a2＋a4＋a6)－(a1＋a3＋a5＋a7)＝1093－(－1094)＝2187.12．已知n，求：(1)展开式中第5项，第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大的项的系数；(2)若展开式前三项的二项式系数和等于79，求展开式中系数最大的项．解析(1)∵C＋C＝2C，∴n2－21n＋98＝0.∴n＝7或n＝14，当n＝7时，展开式中二项式系数最大的项是T4和T5.∴T4的系数为C423＝，T5的系数为C324＝70，当n＝14时，展开式中二项式系数最大的项是T8.2∴T8的系数为C727＝3432.(2)∵C＋C＋C＝79，∴n2＋n－156＝0.∴n＝12或n＝－13(舍去)．设Tk＋1项的系数最大，∵12＝12(1＋4x)12，∴∴9.4≤k≤10.4，∵k∈N，∴k＝10.∴展开式中系数最大的项为T11，T11＝C·2·210·x10＝16896x10.3
