山东省济宁市高考数学一轮复习 48数学归纳法及其应用限时检测 新人教A版-新人教A版高三全册数学试题VIP专享VIP免费

课时限时检测(七十)数学归纳法及其应用(时间：60分钟满分：80分)命题报告考查知识点及角度题号及难度基础中档稍难数学归纳法的原理1,2,3,74,5用数学归纳法证明等式10用数学归纳法证明不等式12综合应用86,9,11一、选择题(每小题5分，共30分)1．用数学归纳法证明“2n＞n2＋1对于n≥n0的正整数n都成立”时，第一步证明中的起始值n0应取()A．2B．3C．5D．6【解析】令n0分别取2,3,5,6，依次验证即得．【答案】C2．对于不等式＜n＋1(n∈N*)，某同学用数学归纳法的证明过程如下：(1)当n＝1时，＜1＋1，不等式成立．(2)假设当n＝k(k∈N*且k≥1)时，不等式成立，即＜k＋1，则当n＝k＋1时，＝＜＝＝(k＋1)＋1，∴当n＝k＋1时，不等式成立，则上述证法()A．过程全部正确B．n＝1验得不正确C．归纳假设不正确D．从n＝k到n＝k＋1的推理不正确【解析】在n＝k＋1时，没用n＝k时的假设，不是数学归纳法．∴从n＝k到n＝k＋1的推理不正确．【答案】D3．(2014·浏阳模拟)用数学归纳法证明命题“当n是正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”，在第二步时，正确的证法是()A．假设n＝k(k∈N＋)，证明n＝k＋1命题成立B．假设n＝k(k是正奇数)，证明n＝k＋1命题成立C．假设n＝2k＋1(k∈N＋)，证明n＝k＋1命题成立D．假设n＝k(k是正奇数)，证明n＝k＋2命题成立【解析】相邻两个正奇数相差2，故D选项正确．【答案】D4．(2014·山东师大附中模拟)用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n2＝，则当n＝k＋1时左端应在n＝k的基础上加上()A．k2＋1B．(k＋1)2C.D．(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2【解析】当n＝k时，左端＝1＋2＋3＋…＋k2，当n＝k＋1时，左端＝1＋2＋3＋…＋(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2，结合四个选项可知，D正确．1【答案】D5．凸n多边形有f(n)条对角线．则凸(n＋1)边形的对角线的条数f(n＋1)为()A．f(n)＋n＋1B．f(n)＋nC．f(n)＋n－1D．f(n)＋n－2【解析】f(n＋1)＝f(n)＋(n－2)＋1＝f(n)＋n－1.【答案】C6．(2014·安庆模拟)已知1＋2×3＋3×32＋4×33＋…＋n×3n－1＝3n(na－b)＋c对一切n∈N*都成立，则a、b、c的值为()A．a＝，b＝c＝B．a＝b＝c＝C．a＝0，b＝c＝D．不存在这样的a、b、c【解析】由于该等式对一切n∈N*都成立，不妨取n＝1,2,3，则有解得a＝，b＝c＝.【答案】A二、填空题(每小题5分，共15分)7．用数学归纳法证明1＋＋＋…＋＜n(n∈N*，n＞1)时，第一步应验证的不等式是________．【解析】当n＝2时，左边＝1＋＋.【答案】1＋＋8．设f(n)＝1＋＋＋＋…＋(n∈N*)，则f(n＋1)－f(n)＝________.【解析】 f(n)＝1＋＋＋＋…＋，∴f(n＋1)＝1＋＋＋…＋＋＋＋.∴f(n＋1)－f(n)＝＋＋.【答案】＋＋9．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝an＋1(n∈N*)，通过计算a1，a2，a3，a4，可猜想an＝________.【解析】 a1＝1，∴a2＝a1＋1＝，a3＝a2＋1＝，a4＝a3＋1＝.猜想an＝.【答案】三、解答题(本大题共3小题，共35分)10．(10分)用数学归纳法证明下面的等式12－22＋32－42＋…＋(－1)n－1·n2＝(－1)n－1.【证明】(1)当n＝1时，左边＝12＝1，右边＝(－1)0·＝1，∴原等式成立．(2)假设n＝k(k∈N*，k≥1)时，等式成立，即有12－22＋32－42＋…＋(－1)k－1·k2＝(－1)k－1.那么，当n＝k＋1时，则有12－22＋32－42＋…＋(－1)k－1·k2＋(－1)k(k＋1)2＝(－1)k－1＋(－1)k·(k＋1)2＝(－1)k·[－k＋2(k＋1)]2＝(－1)k，∴n＝k＋1时，等式也成立，由(1)(2)知对任意n∈N*有12－22＋32－42＋…＋(－1)n－1·n2＝(－1)n－1.11．(12分)(2014·桂林质检)设数列{an}的前n项和为Sn，且方程x2－anx－an＝0有一根为Sn－1(n∈N*)．(1)求a1，a2；(2)猜想数列{Sn}的通项公式，并给出证明．【解】(1)当n＝1时，方程x2－a1x－a1＝0有一根为S1－1＝a1－1，∴(a1－1)2－a1(a1－1)－a1＝0，解得a1＝.当n＝2时，方程x2－a2x－a2＝0有一根为S2－1＝a1＋a2－1＝a2－，∴2－a2－a2＝0，解得a2＝.(2)由题意知(Sn－1)2－an(Sn－1)－an＝0，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1，代入上式整理得SnSn－1－2Sn＋1＝0，解得Sn＝.由(1)得S1＝a1＝，S2＝a1＋a2＝＋＝.猜想Sn＝(n∈N*)．下面用数学归纳法证明这个结论．①当n＝1时，结论成立．②假设n＝k(k∈N*...