第7讲双曲线[基础题组练]1．“k<9”是“方程＋＝1表示双曲线”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A.因为方程＋＝1表示双曲线，所以(25－k)(k－9)<0，所以k<9或k>25，所以“k<9”是“方程＋＝1表示双曲线”的充分不必要条件，故选A.2．双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为，则其渐近线方程为()A．y＝±xB．y＝±xC．y＝±xD．y＝±x解析：选A.法一：由题意知，e＝＝，所以c＝a，所以b＝＝a，所以＝，所以该双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x，故选A.法二：由e＝＝＝，得＝，所以该双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x，故选A.3．(2020·广东揭阳一模)过双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的两焦点且与x轴垂直的直线与双曲线的四个交点组成一个正方形，则该双曲线的离心率为()A.－1B．C.D．2解析：选B.将x＝±c代入双曲线的方程得y2＝⇒y＝±，则2c＝，即有ac＝b2＝c2－a2，由e＝，可得e2－e－1＝0，解得e＝(舍负)．故选B.4．设双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点是F，左、右顶点分别是A1，A2，过F作A1A2的垂线与双曲线交于B，C两点．若A1B⊥A2C，则该双曲线的渐近线方程为()A．y＝±xB．y＝±xC．y＝±xD．y＝±x解析：选C.如图，不妨令B在x轴上方，因为BC过右焦点F(c，0)，且垂直于x轴，所以可求得B，C两点的坐标分别为，.又A1，A2的坐标分别为(－a，0)，(a，0)．所以A1B＝，A2C＝.因为A1B⊥A2C，所以A1B·A2C＝0，即(c＋a)(c－a)－·＝0，即c2－a2－＝0，所以b2－＝0，故＝1，即＝1.又双曲线的渐近线的斜率为±，故该双曲线的渐近线的方程为y＝±x.5．(2020·河北衡水三模)过双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点F(，0)作斜率为k(k＜1－1)的直线与双曲线过第一象限的渐近线垂直，且垂足为A，交另一条渐近线于点B，若S△BOF＝(O为坐标原点)，则k的值为()A．－B．－2C．－D．－解析：选B.由题意得双曲线过第一象限的渐近线方程为y＝－x，过第二象限的渐近线的方程为y＝x，直线FB的方程为y＝k(x－)，联立方程得⇒x＝，所以y＝，所以S△BOF＝|OF|×|yB|＝××＝.令＝，得k＝－2或k＝(舍)．故选B.6．(2020·黄山模拟)过双曲线E：－＝1(a＞0，b＞0)的左焦点(－，0)，作圆(x－)2＋y2＝4的切线，切点在双曲线E上，则E的离心率等于()A．2B．C.D．解析：选B.设圆的圆心为G，双曲线的左焦点为F.由圆的方程(x－)2＋y2＝4，知圆心坐标为G(，0)，半径R＝2，则FG＝2.设切点为P，则GP⊥FP，PG＝2，PF＝2＋2a，由|PF|2＋|PG|2＝|FG|2，即(2＋2a)2＋4＝20，即(2＋2a)2＝16，得2＋2a＝4，a＝1，又c＝，所以双曲线的离心率e＝＝，故选B.7．设F为双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点，若线段OF的垂直平分线与双曲线的渐近线在第一象限内的交点到另一条渐近线的距离为|OF|，则双曲线的离心率为()A．2B．C．2D．3解析：选B.双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线方程为y＝±x，线段OF的垂直平分线为直线x＝，将x＝代入y＝x，则y＝，则交点坐标为，点到直线y＝－x，即bx＋ay＝0的距离d＝＝|OF|＝，得c＝2b＝2，即4a2＝3c2，所以双曲线的离心率e＝＝，故选B.8．已知双曲线C：－y2＝1，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M，N.若△OMN为直角三角形，则|MN|＝()A.B．3C．2D．4解析：选B.因为双曲线－y2＝1的渐近线方程为y＝±x，所以∠MON＝60°.不妨设过点F的直线与直线y＝x交于点M，由△OMN为直角三角形，不妨设∠OMN＝90°，则∠MFO＝60°，又直线MN过点F(2，0)，所以直线MN的方程为y＝－(x－2)，由得所以M，所以|OM|＝＝，所以|MN|＝|OM|＝3，故选B.9．(2020·湛江模拟)设F为双曲线E：－＝1(a，b＞0)的右焦点，过E的右顶点作x轴的垂线与E的渐近线相交于A，B两点，O为坐标原点，四边形OAFB为菱形，圆x2＋y2＝c2(c2＝a2＋b2)与E在第一象限的交点是P，且|PF|＝－1，则双曲线E的方程是()A.－＝1B．－＝1C.－y2＝1D．x2－＝1解析：选D.双曲线E：－＝1的渐近线方程为y＝±x，因为四边形OAFB为菱形，2所以对角线互相垂直平分，所以c＝2a，∠AOF＝60°，所以＝.则有解得P.因为|PF|＝－1，所以＋＝(－1)2，解得a＝1，则b＝，故双曲线E的方程为x2－＝1.故选D.10．已知...
