高考数学一轮复习第12章选4系列 12.4 证明不等式的基本方法课后作业理-人教版高三全册数学试题VIP免费

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12．4证明不等式的基本方法[基础送分提速狂刷练]1．(2018·沈阳质检)已知函数f(x)＝|x－a|－x(a>0)．(1)若a＝3，解关于x的不等式f(x)<0；(2)若对于任意的实数x，不等式f(x)－f(x＋a)0，∴a1.故实数a的取值范围为(1，＋∞)．2．(2017·河北石家庄二模)设函数f(x)＝|x－1|－|2x＋1|的最大值为m.(1)作出函数f(x)的图象；(2)若a2＋2c2＋3b2＝m，求ab＋2bc的最大值．解(1)因为f(x)＝|x－1|－|2x＋1|，所以f(x)＝画出图象如图．(2)由(1)可知m＝.因为＝m＝a2＋2c2＋3b2＝(a2＋b2)＋2(c2＋b2)≥2ab＋4bc，所以ab＋2bc≤，当且仅当a＝b＝c＝时，等号成立．所以ab＋2bc的最大值为.3．(2017·广东肇庆统测)已知函数f(x)＝|x＋1|，g(x)＝2|x|＋a.(1)若a＝0，解不等式f(x)≥g(x)；(2)若存在x∈R，使得f(x)≥g(x)成立，求实数a的取值范围．解(1)当a＝0时，由f(x)≥g(x)，得|x＋1|≥2|x|，两边平方，并整理得(3x＋1)(1－x)≥0，所以所求不等式的解集为.(2)解法一：由f(x)≥g(x)，得|x＋1|≥2|x|＋a，即|x＋1|－2|x|≥a.令F(x)＝|x＋1|－2|x|，依题意可得F(x)max≥a.1F(x)＝|x＋1|－|x|－|x|≤|x＋1－x|－|x|＝1－|x|≤1，当且仅当x＝0时，上述不等式的等号同时成立，所以F(x)max＝1.所以a的取值范围是(－∞，1]．解法二：由f(x)≥g(x)，得|x＋1|≥2|x|＋a，即|x＋1|－2|x|≥a.令F(x)＝|x＋1|－2|x|，依题意可得F(x)max≥a.F(x)＝|x＋1|－2|x|＝易得F(x)在(－∞，0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减，所以当x＝0时，F(x)取得最大值，最大值为1.故a的取值范围是(－∞，1]．4．(2017·衡阳联考)已知函数f(x)＝|x－3|.(1)若不等式f(x－1)＋f(x)f.证明：要证>f，只需证|ab－3|>|b－3a|，即证(ab－3)2>(b－3a)2，又(ab－3)2－(b－3a)2＝a2b2－9a2－b2＋9＝(a2－1)(b2－9)．因为|a|<1，|b|<3，所以(ab－3)2>(b－3a)2成立，所以原不等式成立．5．(2017·泉州一模)已知函数f(x)＝|x＋1|＋|2x－4|.(1)解关于x的不等式f(x)<9；(2)若直线y＝m与曲线y＝f(x)围成一个三角形，求实数m的取值范围，并求所围成的三角形面积的最大值．解(1)x≤－1，不等式可化为－x－1－2x＋4<9，∴x>－2，∴－2－4，∴－10，a＋b＋c＝1.求证：(1)＋＋≤；(2)＋＋≥.证明(1)由柯西不等式得(＋＋)2＝(1·＋1·＋1·)2≤(12＋12＋12)[()2＋()2＋()2]＝3，当且仅当＝＝，即a＝b＝c＝时等号成立，∴＋＋≤.(2)由柯西不等式得[(3a＋1)＋(3b＋1)＋(3c＋1)]≥2＝9，又a＋b＋c＝1，∴6≥9，∴＋＋≥.3

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