课时作业25平面向量的概念及其线性运算[基础达标]一、选择题1．若m∥n，n∥k，则向量m与向量k()A．共线B．不共线C．共线且同向D．不一定共线解析：可举特例，当n＝0时，满足m∥n，n∥k，故A，B，C选项都不正确，故D正确．答案：D2．[2019·通州模拟]已知在△ABC中，D是BC的中点，那么下列各式中正确的是()A.AB＋AC＝BCB.AB＝BC＋DAC.AD－DC＝ACD．2CD＋BA＝CA解析：本题考查向量的线性运算．A错，应为AB＋AC＝2AD；B错，应为BC＋DA＝BD＋DA＝BA；C错，应为AC＝AD＋DC；D正确，2CD＋BA＝CB＋BA＝CA，故选D.答案：D3．如图，e1，e2为互相垂直的单位向量，向量a－b可表示为()A．3e2－e1B．－2e1－4e2C．e1－3e2D．3e1－e2解析：向量a－b是以b的终点为始点，a的终点为终点的向量．由图形知，a－b＝e1－3e2.答案：C4．[2019·石家庄检测]在△ABC中，点D在边AB上，且BD＝DA，设CB＝a，CA＝b，则CD＝()A.a＋bB.a＋bC.a＋bD.a＋b解析： BD＝DA，∴BD＝BA，∴CD＝CB＋BD＝CB＋BA＝CB＋(CA－CB)＝CB＋CA＝a＋b，故选B.答案：B5．如图，已知四边形ABCD是梯形，E，F分别是腰的中点，M、N是线段EF上的两个点，且EM＝MN＝NF，下底是上底的2倍，若AB＝a，BC＝b，则DN＝()A．－a－bB.a＋bC.a＋bD.a－b解析： EF＝(AB＋DC)＝AB＝aCF＝－BC＝－b，∴DN＝DC＋CF＋FN＝AB＋CF－EF＝a－b－×a＝a－b.答案：D二、填空题6．给出下列命题：①若a＝b，b＝c，则a＝c；②若A，B，C，D是不共线的四点，则AB＝DC是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；③a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b；④若a∥b，b∥c，则a∥c.其中正确命题的序号是________．解析：①正确． a＝b，∴a，b的长度相等且方向相同，又b＝c，∴b，c的长度相等且方向相同，∴a，c的长度相等且方向相同，故a＝c.②正确． AB＝DC，∴|AB|＝|DC|且AB∥DC，又A，B，C，D是不共线的四点，∴四边形ABCD为平行四边形；反之，若四边形ABCD为平行四边形，则AB∥DC且|AB|＝|DC|，因此，AB＝DC.③不正确．当a∥b且方向相反时，即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b，故|a|＝|b|且a∥b不是a＝b的充要条件，而是必要不充分条件．④不正确．考虑b＝0这种特殊情况．综上所述，正确命题的序号是①②.答案：①②7．若点O是△ABC所在平面内的一点，且满足|OB－OC|＝|OB＋OC－2OA|，则△ABC的形状为________．解析：OB＋OC－2OA＝(OB－OA)＋(OC－OA)＝AB＋AC，OB－OC＝CB＝AB－AC，所以|AB＋AC|＝|AB－AC|.故A，B，C为矩形的三个顶点，△ABC为直角三角形．答案：直角三角形8．设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝AB，BE＝BC.若DE＝λ1AB＋λ2AC(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．解析：DE＝DB＋BE＝AB＋BC＝AB＋(BA＋AC)＝－AB＋AC，所以λ1＝－，λ2＝，即λ1＋λ2＝.答案：三、解答题9．在△ABC中，D，E分别是BC，AC边上的中点，G为BE上一点，且GB＝2GE，设AB＝a，AC＝b，试用a，b表示AD，AG.解析：AD＝(AB＋AC)＝a＋b.AG＝AB＋BG＝AB＋BE＝AB＋(BA＋BC)＝AB＋(AC－AB)＝AB＋AC＝a＋b.10．设e1，e2是两个不共线向量，已知AB＝2e1－8e2，CB＝e1＋3e2，CD＝2e1－e2.(1)求证：A，B，D三点共线；(2)若BF＝3e1－ke2，且B，D，F三点共线，求k的值．解析：(1)证明：由已知得BD＝CD－CB＝(2e1－e2)－(e1＋3e2)＝e1－4e2， AB＝2e1－8e2，∴AB＝2BD，又有公共点B，∴A，B，D三点共线．(2)由(1)可知BD＝e1－4e2，且BF＝3e1－ke2，由B，D，F三点共线得BF＝λBD，即3e1－ke2＝λe1－4λe2，得，解得k＝12，∴k＝12.[能力挑战]11．设D，E，F分别是△ABC的三边BC，CA，AB上的点，且DC＝2BD，CE＝2EA，AF＝2FB，则AD＋BE＋CF与BC()A．反向平行B．同向平行C．互相垂直D．既不平行也不垂直解析：由题意得AD＝AB＋BD＝AB＋BC，BE＝BA＋AE＝BA＋AC，CF＝CB＋BF＝CB＋BA，因此AD＋BE＋CF＝CB＋(BC＋AC－AB)＝CB＋BC＝－BC，故AD＋BE＋CF与BC反向平行．答案：A12．[2019·清华大学自主招生能力测试]O为△ABC内一点，且OA＋OB＋2OC＝0，则△OBC和△ABC的面积比＝________.解析：如图所示，设AB的中点为M，连接OM，则OA＋OB＝2OM，∴OA＋OB＋2OC＝2OM＋2OC＝0，即OM＋OC＝0，∴...
