第3讲圆的方程一、选择题1．方程y＝表示的曲线是()A．上半圆B．下半圆C．圆D．抛物线解析：选A．由方程可得x2＋y2＝1(y≥0)，即此曲线为圆x2＋y2＝1的上半圆．2．以M(1，0)为圆心，且与直线x－y＋3＝0相切的圆的方程是()A．(x－1)2＋y2＝8B．(x＋1)2＋y2＝8C．(x－1)2＋y2＝16D．(x＋1)2＋y2＝16解析：选A．因为所求圆与直线x－y＋3＝0相切，所以圆心M(1，0)到直线x－y＋3＝0的距离即为该圆的半径r，即r＝＝2．所以所求圆的方程为：(x－1)2＋y2＝8．故选A．3．已知圆C1：(x＋1)2＋(y－1)2＝1，圆C2与圆C1关于直线x－y－1＝0对称，则圆C2的方程为()A．(x＋2)2＋(y－2)2＝1B．(x－2)2＋(y＋2)2＝1C．(x＋2)2＋(y＋2)2＝1D．(x－2)2＋(y－2)2＝1解析：选B．圆C1的圆心坐标为(－1，1)，半径为1，设圆C2的圆心坐标为(a，b)，由题意得解得所以圆C2的圆心坐标为(2，－2)，又两圆的半径相等，故圆C2的方程为(x－2)2＋(y＋2)2＝1．4．已知圆C与直线y＝x及x－y－4＝0都相切，圆心在直线y＝－x上，则圆C的方程为()A．(x＋1)2＋(y－1)2＝2B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2C．(x－1)2＋(y－1)2＝2D．(x－1)2＋(y＋1)2＝2解析：选D．由题意知x－y＝0和x－y－4＝0之间的距离为＝2，所以r＝．又因为x＋y＝0与x－y＝0，x－y－4＝0均垂直，所以由y＝－x和x－y＝0联立得交点坐标为(0，0)，由x＋y＝0和x－y－4＝0联立得交点坐标为(2，－2)，所以圆心坐标为(1，－1)，圆C的标准方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝2．5．在平面直角坐标系xOy中，已知A(－1，0)，B(0，1)，则满足|PA|2－|PB|2＝4且在圆x2＋y2＝4上的点P的个数为()A．0B．1C．2D．3解析：选C．设P(x，y)，则由|PA|2－|PB|2＝4，得(x＋1)2＋y2－x2－(y－1)2＝4，所以x＋y－2＝0．求满足条件的点P的个数即为求直线与圆的交点个数，圆心到直线的距离为＝＜2＝r，所以直线与圆相交，交点个数为2．故满足条件的点P有2个，选C．6．已知P(x，y)是圆x2＋(y－3)2＝a2(a>0)上的动点，定点A(2，0)，B(－2，0)，△PAB的面积的最大值为8，则a的值为()A．1B．2C．3D．41解析：选A．要使△PAB的面积最大，只要点P到直线AB的距离最大．由于AB的方程为y＝0，圆心(0，3)到直线AB的距离为d＝3，故P到直线AB的距离的最大值为3＋a．再根据AB＝4，可得△PAB面积的最大值为·AB·(3＋a)＝2(3＋a)＝8，所以a＝1，故选A．二、填空题7．已知动点M(x，y)到点O(0，0)与点A(6，0)的距离之比为2，则动点M的轨迹所围成的区域的面积是________．解析：依题意可知＝2，即＝2，化简整理得(x－8)2＋y2＝16，即动点M的轨迹是以(8，0)为圆心，半径为4的圆．所以其面积为S＝πR2＝16π．答案：16π8．当方程x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0所表示的圆的面积取最大值时，直线y＝(k－1)x＋2的倾斜角α＝________．解析：由题意知，圆的半径r＝＝≤1，当半径r取最大值时，圆的面积最大，此时k＝0，r＝1，所以直线方程为y＝－x＋2，则有tanα＝－1，又α∈[0，π)，故α＝．答案：9．已知平面区域恰好被面积最小的圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2及其内部所覆盖，则圆C的方程为________．解析：由题意知，此平面区域表示的是以O(0，0)，P(4，0)，Q(0，2)所构成的三角形及其内部，所以覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆．因为△OPQ为直角三角形，所以圆心为斜边PQ的中点(2，1)，半径r＝＝，因此圆C的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5．答案：(x－2)2＋(y－1)2＝510．设命题p：(x，y，k∈R且k>0)；命题q：(x－3)2＋y2≤25(x，y∈R)．若p是q的充分不必要条件，则k的取值范围是________．解析：如图所示：命题p表示的范围是图中△ABC的内部(含边界)，命题q表示的范围是以点(3，0)为圆心，5为半径的圆及圆内部分，p是q的充分不必要条件．实际上只需A，B，C三点都在圆内(或圆上)即可．由题知B，则解得0
