第1讲曲线的切线1.若f(x)＝2xf′(1)＋x2，则f′(0)＝________．答案：－4解析：因为f′(x)＝2f′(1)＋2x，所以令x＝1，得f′(1)＝－2，所以f′(0)＝2f′(1)＝－4.2.(2018·启东中学)设函数f(x)＝xlnx，则点(1，0)处的切线方程是________．答案：x－y－1＝0解析：因为f′(x)＝lnx＋1，所以f′(1)＝1，所以切线方程为x－y－1＝0.3.若曲线y＝ax2－lnx在点(1，a)处的切线平行于x轴，则a＝________．答案：解析：因为y′＝2ax－，所以y′|x＝1＝2a－1.因为曲线在点(1，a)处的切线平行于x轴，故其斜率为0，故2a－1＝0，a＝.4.曲线f(x)＝x3－x＋3在点P处的切线平行于直线y＝2x－1，则点P的坐标为________．答案：(1，3)或(－1，3)解析：f′(x)＝3x2－1，令f′(x)＝2，则3x2－1＝2，解得x＝1或x＝－1，所以P(1，3)或(－1，3)，经检验，点(1，3)，(－1，3)均不在直线y＝2x－1上．5.(2018·沈阳模拟)在平面直角坐标系xOy中，点M在曲线C：y＝x3－x－1上，且在第三象限内，已知曲线C在点M处的切线的斜率为2，则点M的坐标为________．答案：(－1，－1)解析： y′＝3x2－1，曲线C在点M处的切线的斜率为2，∴3x2－1＝2，x＝±1. 点M在第三象限，∴x＝－1，∴y＝(－1)3－(－1)－1＝－1，∴点M的坐标为(－1，－1)．6.(2018·通州中学)若函数f(x)＝2x＋lnx且f′(a)＝0，则2aln2a＝________．答案：－1解析：f′(x)＝2xln2＋，由f′(a)＝2aln2＋＝0，得2aln2＝－，则a·2a·ln2＝－1，即2aln2a＝－1.7.如图，y＝f(x)是可导函数，直线l：y＝kx＋3是曲线y＝f(x)在x＝1处的切线，若h(x)＝xf(x)，则h(x)的图象在x＝1处的切线方程为________．答案：y＝x＋1解析：由图象可知f(1)＝2，2＝k×1＋3，k＝－1.因为h′(x)＝f(x)＋xf′(x)，所以h′(1)＝f(1)＋f′(1)＝2－1＝1.又h(1)＝f(1)＝2，所以h(x)的图象在x＝1处的切线方程为y－2＝x－1，即y＝x＋1.8.(2017·苏州模拟)已知直线x＋y＝b是函数y＝ax＋的图象在点(1，m)处的切线，则a＋b－m＝________．答案：2解析：由题意，m＝a＋2，m＋1＝b，又函数y＝ax＋的导函数y′＝a－，故切线的斜率为a－2，由a－2＝－1得a＝1，则m＝3，b＝4，所以a＋b－m＝2.9.已知y＝f(x)是可导函数，如图，直线y＝kx＋2是曲线y＝f(x)在x＝3处的切线，令g(x)＝xf(x)，g′(x)是g(x)的导函数，则g′(3)＝________．答案：0解析：由题图可知曲线y＝f(x)在x＝3处切线的斜率等于－，所以f′(3)＝－.因为g(x)＝xf(x)，所以g′(x)＝f(x)＋xf′(x)，所以g′(3)＝f(3)＋3f′(3)．又由题图可知f(3)＝1，所以g′(3)＝1＋3×(－)＝0.10.(2018·常州期末)已知函数f(x)＝bx＋lnx，其中b∈R.若过原点且斜率为k的直线与曲线y＝f(x)相切，则k－b的值为________．答案：解析：设直线方程为y＝kx，切点为A(x0，y0)，则有从而有bx0＋lnx0＝kx0＝bx0＋1，解得x0＝e，所以k－b＝.11.(2017·南通调研一)在平面直角坐标系xOy中，直线l与曲线y＝x2(x>0)和y＝x3(x>0)均相切，切点分别为A(x1，y1)和B(x2，y2)，则的值是________．答案：解析：由y＝x2得y′＝2x，切线方程为y－x＝2x1(x－x1)，即y＝2x1x－x.由y＝x3得y′＝3x2，切线方程为y－x＝3x(x－x2)，即y＝3xx－2x，由得＝.12.已知函数f(x)＝x3－2x2＋3x(x∈R)的图象为曲线C.(1)求过曲线C上任意一点切线斜率的取值范围；(2)若在曲线C上存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线C的切点的横坐标的取值范围．解：(1)由题意得f′(x)＝x2－4x＋3，则f′(x)＝(x－2)2－1≥－1，即过曲线C上任意一点切线斜率的取值范围是[－1，＋∞)．(2)设曲线C的其中一条切线的斜率为k，则由(2)中条件并结合(1)中结论可知，解得－1≤k＜0或k≥1，故由－1≤x2－4x＋3<0或x2－4x＋3≥1，得x∈(－∞，2－]∪(1，3)∪[2＋，＋∞)．13.已知函数f(x)＝xlnx，g(x)＝λ(x2－1)(λ为常数)．(1)若函数y＝f(x)与函数y＝g(x)在x＝1处有相同的切线，求实数λ的值；(2)若λ＝，且x≥1，求证：f(x)≤g(x)．(1)解：f′(x)＝lnx＋1，则f′(1)＝1且f(1)＝0.所以函数y＝f(x)在x＝1处的切线方程为y＝x－1，因为g′(x)＝2λx，所以g′(1)＝2λ＝1，即λ＝.(2)证明：由题意设函数h(x)＝f(x)－g(x)...
