中档题专练(六)1.在平面直角坐标系xOy中,设锐角α的始边与x轴的非负半轴重合,终边与单位圆交于点P(x1,y1),将射线OP绕坐标原点O按逆时针方向旋转π2后与单位圆交于点Q(x2,y2),记f(α)=y1+y2.(1)求函数f(α)的值域;(2)设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若f(C)=❑√2,且a=❑√2,c=1,求b.2.(2018南京、盐城高三年级第二次模拟考试)调查某地居民每年到商场购物次数m与商场面积S、到商场距离d的关系,得到关系式m=k×Sd2(k为常数,k>0),如图,某投资者计划在与商场A相距10km的新区新建商场B,且商场B的面积与商场A的面积之比为λ(0<λ<1).记“每年居民到商场A购物的次数”与“每年居民到商场B购物的次数”分别为m1、m2,称满足m1b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,点P(3,1)在椭圆上,△PF1F2的面积为2❑√2.(1)①求椭圆C的标准方程;②若∠F1QF2=π3,求QF1·QF2的值.(2)直线y=x+k与椭圆C相交于A,B两点,若以AB为直径的圆经过坐标原点,求实数k的值.答案精解精析1.解析(1)由题意得y1=sinα,y2=sin(α+π2)=cosα,所以f(α)=sinα+cosα=❑√2sin(α+π4),因为α∈(0,π2),所以α+π4∈(π4,3π4),故f(α)的值域为(1,❑√2].(2)因为f(C)=❑√2sin(π4+C)=❑√2,且易知C∈(0,π2),所以C=π4,在△ABC中,由余弦定理得c2=a2+b2-2abcosC,即1=2+b2-2❑√2×❑√22b,解得b=1.2.解析设商场A、B的面积分别为S1km2、S2km2,点P到A、B的距离分别为d1km、d2km,则S2=λS1(0<λ<1),m1=kS1d12,m2=kS2d22,k为常数,k>0.(1)在△PAB中,AB=10,PA=15,∠PAB=60°,由余弦定理,得d22=PB2=AB2+PA2-2AB·PAcos60°=102+152-2×10×15×12=175.又d12=PA2=225,则m1-m2=kS1d12-kS2d22=kS1d12-kλS1d22=kS1(1d12-λd22),将λ=12,d12=225,d22=175代入,得m1-m2=kS1(1225-1350).因为kS1>0,所以m1>m2,即居住在P点处的居民不在商场B相对于A的“更强吸引区域”内.(2)以A为原点,AB所在直线为x轴,建立如图所示的平面直角坐标系,则A(0,0),B(10,0),设P(x,y),由m10,满足条件,因此k=±❑√6.
