三角函数中的数学思想方法 学法指导 不分版本VIP专享VIP免费

三角函数中的数学思想方法杨新兰一、化归思想化归思想在三角函数中应用非常普遍，主要体现在：①化多角的形式为单角的形式；②化多种函数名称为一种函数名称；③化未知角为已知角；④化高次为低次；⑤化特殊为一般。例1求函数的值域。解：由函数式得，即，可知（其中所确定）。由，得，即，解得。评析：求形如的函数值域问题，通常将函数式变形，然后转化为一个角的正弦或余弦函数形式，再根据正弦、余弦函数的有界性求得。二、换元思想在三角函数问题中，通常引入变量，把问题转化成对新变量的讨论。这样通过转化原问题的结构，可以简化解题过程。例2求函数的最大值与最小值。解：设，。由，得。因，所以。于是有。由，可知。故函数y的最大值为，最小值为。评析：通过换元把三角问题转化为代数问题进行讨论，这样可以避开三角函数解题，达到化繁为简、化难为易的目的。三、分类讨论思想由于三角函数值受角所在象限的影响，需要对角所在不同的象限进行讨论，这样才能使问题圆满解决。例3已知函数，，问是否存在常数，使得f(x)的值域为[－3，]。若存在，求出a,b的值；若不存在，说明理由。解：假设存在常数，使f(x)的值域为[－3，]。由于，则，即。用心爱心专心115号编辑1当a>0时，，解得a=1，，不合题意。当a=0时，f(x)=b，显然不满足题意。当a<0时，，解得a=－1，b=1，显然。故存在常数，使f(x)的值域为[－3，]，且a=－1，b=1。评析：本题实际上利用了一次函数的单调性，其单调性与自变量的系数的符号是密切相关的，当该系数的符号不明确时，就需要进行分类讨论。四、数形结合思想利用单位圆中的三角函数线或三角函数图象解答三角问题，形象直观，是典型的“以形助数”手段，而利用三角公式证明三角问题中的几何性质，又是典型的“以数助形”的解题策略。例4已知，求证：。证明：如图所示，在单位圆中，过A作单位圆的切线AT，在AT上取B、C两点，使∠BOA=x1，∠COA=x2。设OD为∠COB的平分线，知∠DOA=。取E为BC的中点，不妨设。由及，知|OC|>|OB|。，|AC|=，|AD|=。由OD为∠COB的角平分线，根据三角形内角平分线的性质，得，可知，即|BD|<|DC|，可得|BE|>|BD|，所以|AE|>|AD|。而，由上可得，即>。评析：利用与单位圆有关的有向线段，将任意角的正弦、余弦、正切函数值分别用它们的几何形式表示出来，这就是三角函数线。利用三角函数线可以解决三角函数中的复杂问题，且形象直观，简洁明了。用心爱心专心115号编辑2