第十节导数的概念及其运算[考情展望]1.利用导数的几何意义求曲线在某点处的切线方程.2.考查导数的有关计算．一、导数的概念1．函数y＝f(x)在x＝x0处的导数：(1)定义：称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率lim＝lim为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝lim＝lim.(2)几何意义：函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线斜率．(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)相应地，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．2．函数f(x)的导函数：称函数f′(x)＝lim为f(x)的导函数．二、基本初等函数的导数公式原函数导函数f(x)＝xn(n∈Q*)f′(x)＝n·xn－1f(x)＝sinxf′(x)＝cos_xf(x)＝cosxf′(x)＝－sin_xf(x)＝axf′(x)＝axln_a(a＞0)f(x)＝exf′(x)＝exf(x)＝logaxf′(x)＝f(x)＝lnxf′(x)＝三、导数的运算法则1．[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；2．[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；3.′＝(g(x)≠0)．导数的运算法则特例及推广(1)[af(x)＋bg(x)]′＝af′(x)＋bg′(x)，其中a，b为常数．(2)′＝－(f(x)≠0)．(3)导数的加法与减法法则，可由两个可导函数推广到任意有限个可导函数的情形，即[u(x)±v(x)±…±ω(x)]＝u′(x)±v′(x)±…±ω′(x)．四、复合函数的导数设u＝v(x)在点x处可导，y＝f(u)在点u处可导，则复合函数f[v(x)]在点x处可导，且f′(x)＝f′(u)·v′(x)，即y′x＝y′u·u′x.“分解—求导—回代”法求复合函数的导数(1)分解适当选定中间变量，正确分解复合关系，即说明函数关系y＝f(u)，u＝g(x)；(2)求导分步求导(弄清每一步求导是哪个变量对哪个变量求导)，要特别注意中间变量对自变量求导，即先求y′u，再求u′x；(3)回代计算y′u·u′x，并把中间变量代回原自变量(一般是x)的函数．1．某汽车的路程函数是s(t)＝2t3－gt2(g＝10m/s2)，则当t＝2s时，汽车的加速度是()A．14m/s2B．4m/s2C．10m/s2D．－4m/s2【解析】由题意知，汽车的速度函数为v(t)＝s′(t)＝6t2－gt，则v′(t)＝12t－g，故当t＝2s时，汽车的加速度是v′(2)＝12×2－10＝14m/s2.【答案】A2．函数y＝xcosx－sinx的导数为()A．xsinxB．－xsinxC．xcosxD．－xcosx【解析】f′(x)＝cosx－xsinx－cosx＝－xsinx.【答案】B3．已知f(x)＝xlnx，若f′(x0)＝2，则x0等于()A．e2B．eC.D．ln2【解析】f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝lnx＋1，由f′(x0)＝2，即lnx0＋1＝2，解得x0＝e.【答案】B4．曲线y＝x3＋11在点P(1,12)处的切线与y轴交点的纵坐标是()A．－9B．－3C．9D．15【解析】 y＝x3＋11，∴y′＝3x2，∴y′|x＝1＝3，∴曲线y＝x3＋11在点P(1,12)处的切线方程为y－12＝3(x－1)．令x＝0，得y＝9.【答案】C5．(2013·江西高考)若曲线y＝xα＋1(α∈R)在点(1,2)处的切线经过坐标原点，则α＝________.【解析】因为y′＝α·xα－1，所以在点(1,2)处的切线斜率k＝α，则切线方程为y－2＝α(x－1)．又切线过原点，故0－2＝α(0－1)，解得α＝2.【答案】26．(2013·广东高考)若曲线y＝kx＋lnx在点(1，k)处的切线平行于x轴，则k＝________.【解析】函数y＝kx＋lnx的导函数为y′＝k＋，由导数y′|x＝1＝0，得k＋1＝0，则k＝－1.【答案】－1考向一[036]导数的计算求下列函数的导数：(1)y＝exsinx；(2)y＝x；(3)y＝x－sincos；(4)y＝.【思路点拨】(1)利用积的导数运算法则求解，(2)(3)先化简再求导，(4)利用商的导数运算法则和复合函数求导法则求解．【尝试解答】(1)y′＝(ex)′sinx＋ex(sinx)′＝exsinx＋excosx.(2) y＝x3＋1＋，∴y′＝3x2－.(3) y＝x－sinx，∴y′＝1－cosx.(4)y′＝＝＝.规律方法11.本例在解答过程易出现商的求导中，符号判定错误.2.求函数的导数的方法1连乘积的形式：先展开化为多项式的形式，再求导.2根式形式：先化为分数指数幂，再求导.3复杂公式：通过分子上凑分母，化为简单分式的和、差，再求导.4复合函数：确定复合关系，由外向内逐层求导.5不能直接求导的：适当恒等变形，转化为能求导的形式再求导.对点训练求下列函数的导数：(1)y＝(1＋)；(2)y＝3xex－lnx＋e；(3)y＝＋e2x.【解...
