第3讲三角函数的图象与性质一、填空题1．函数f(x)＝sin图象的对称轴方程为________．答案x＝＋(k∈Z)2．将函数f(x)＝sinωx(其中ω>0)的图象向右平移个单位长度，所得图象经过点，则ω的最小值是________．解析将函数f(x)＝sinωx的图象向右平移个单位长度得到函数y＝sin的图象，因为所得图象经过点，则sin＝0，所以π＝kπ，即ω＝2k，又ω>0，所以ωmin＝2.答案23．若函数f(x)＝sin(φ∈[0,2π])是偶函数，则φ＝________.解析由已知f(x)＝sin是偶函数，可得＝kπ＋，即φ＝3kπ＋(k∈Z)．又φ∈[0,2π]，所以φ＝.答案4．若三角函数f(x)的部分图象如图，则函数f(x)的解析式，以及S＝f(1)＋f(2)＋…＋f(2012)的值分别为________．解析根据已知图象，可设f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋1(ω>0，A>0)，由T＝4得＝4，∴ω＝，A＝＝＝，又f(0)＝sinφ＋1＝1，∴sinφ＝0，得φ＝0，∴f(x)＝sin＋1.又f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝1.5＋1＋0.5＋1＝4，∴S＝f(1)＋f(2)＋…＋f(2012)＝503×[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)]＝503×4＝2012.答案f(x)＝sin＋1，S＝20125．函数f(x)＝sin，g(x)＝cos(x＋φ)，|φ|<.如果f(x)有对称轴经过g(x)的对称中心，则g的值为________．解析考查三角函数的对称性．熟记f(x)＝Asin(ωx＋φ)图象的对称轴与对称中心的通解．f(x)图象的对称轴为x＝π＋(k∈Z)，g(x)的对称中心为(n∈Z)，∴φ＝π＋， |φ|<，∴φ＝或－，∴g＝－或.答案－或6．定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数．若f(x)的最小正周期是π，且当x∈[0，]时，f(x)＝sinx，则f的值为________．解析f＝f＝f＝sin＝.答案7．若f(x)＝2sinωx(0<ω<1)在区间上的最大值是，则ω＝________.解析由0≤x≤，得0≤ωx≤<，则f(x)在上单调递增，且在这个区间上的最大值是，所以2sin＝，且0<<，1所以＝，解得ω＝.答案8．已知函数f(x)＝(sinx＋cosx)－|sinx－cosx|，则f(x)的值域是________．解析f(x)＝(sinx＋cosx)－|sinx－cosx|＝画出函数f(x)的图象，可得函数的最小值为－1，最大值为，故值域为.答案9．已知过原点的直线与函数y＝|sinx|(x≥0)的图像有且只有三个交点，α是交点中横坐标的最大值，则的值为________．解析y＝|sinx|(x≥0)的图像如图，若过原点的直线与函数y＝|sinx|(x≥0)的图像有且只有三个交点，则第三个交点的横坐标为α，且α∈，又在区间(π，2π)上，y＝|sinx|＝－sinx，则切点坐标为(α，－sinα)，又切线斜率为－cosα，则切线方程为y＋sinα＝－cosα(x－2)y＝－cosx＋αcosα＝－sinα，又直线过原点，把[0,0)代入上式得，α＝tanα∴＝＝(1＋tan2α)cos2α＝cos2α＝cos2α＋sin2α＝1.答案：110．设函数f(x)＝sin(ωx＋φ)，给出以下四个论断：①它的最小正周期为π；②它的图像关于直线x＝成轴对称图形；③它的图像关于点成中心对称图形；④在区间上是增函数．以其中两个论断作为条件，另两个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题________(用序号表示即可)．解析若①、②成立，则ω＝＝2;令2·＋φ＝kπ＋，k∈Z，且|φ|<，故k＝0，∴φ＝.此时f(x)＝sin，当x＝时，sin＝sinπ＝0，∴f(x)的图像关于成中心对称；又f(x)在上是增函数，∴在上也是增函数，因此①②⇒③④，用类似的分析可得①③⇒②④.因此填①②⇒③④或①③⇒②④.2答案①②⇒③④(也可填①③⇒②④)二、解答题11．设f(x)＝.(1)求f(x)的定义域；(2)求f(x)的值域及取最大值时x的值．解(1)由1－2sinx≥0，根据正弦函数图象知：定义域为{x|2kπ＋π≤x≤2kπ＋，k∈Z}．(2) －1≤sinx≤1，∴－1≤1－2sinx≤3， 1－2sinx≥0，∴0≤1－2sinx≤3，∴f(x)的值域为[0，]，当x＝2kπ＋，k∈Z时，f(x)取得最大值．12．已知函数f(x)＝cos＋2sinsin.(1)求函数f(x)的最小正周期和图象的对称轴；(2)求函数f(x)在区间上的值域．解(1)f(x)＝cos＋2sinsin＝cos2x＋sin2x＋(sinx－cosx)(sinx＋cosx)＝cos2x＋sin2x＋sin2x－cos2x＝cos2x＋sin2x－cos2x＝sin.∴最小正周期T＝＝π，由2x－＝kπ＋(k∈Z)，得x＝＋(k∈Z)．∴函数图象的对称轴为x＝＋(k∈Z)．(2) x∈，∴2x－∈，∴－≤sin≤1.即函数f(x)在区间上的值域为.13．已知...
