专题05函数的周期性和对称性【高考地位】函数的周期性和对称性是函数的两个基本性质。在高中数学中，研究一个函数，首看定义域、值域，然后就要研究对称性（中心对称、轴对称），并且在高考中也经常考查函数的对称性和周期性，以及它们之间的联系。因此，我们应该掌握一些简单常见的几类函数的周期性与对称性的基本方法。【方法点评】一、函数的周期性的判定及应用使用情景：几类特殊函数类型解题模板：第一步合理利用已知函数关系并进行适当地变形；第二步熟记常见结论，准确求出函数的周期性；（1）若函数满足，则函数的周期为；（2）若函数满足或或，则函数的周期为；第三步运用函数的周期性求解实际问题.例1函数定义域为，且对任意，都有，若在区间上则（）A.B.C.D.【答案】C【变式演练1】已知定义在上的函数满足，，则（）A．B．C．D．【答案】B考点：函数周期性质【变式演练2】定义域为上的奇函数满足，且，则（）A.2B.1C.-1D.-2【答案】C【解析】,因此，选C.考点：函数的周期性.【变式演练3】定义在上的偶函数满足，且在上为增函数，，，，则下列不等式成立的是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】试题分析：因为定义在上的偶函数在上为增函数，所以在上单调递减，又，所以，又，所以．考点：1．偶函数的性质；2．函数的周期性．二、函数的对称性问题使用情景：几类特殊函数类型解题模板：记住常见的几种对称结论：第一类函数满足时，函数的图像关于直线对称；第二类函数满足时，函数的图像关于点对称；第三类函数的图像与函数的图像关于直线对称.例2．已知定义在上的函数满足，，则（)A．B．C．D．【答案】B例3已知定义在上的函数的图象关于点对称,且满足,又,则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】试题分析：由得，又，，，的图象关于点对称，所以，由可得，故选D.考点：函数的周期性；函数的对称性．例4已知为奇函数，与图像关于对称，若，则（）A.2B.-2C.1D.-1【答案】B【变式演练4】定义在上的奇函数，对于，都有，且满足，，则实数的取值范围是.【答案】或【解析】试题分析：由，因此函数图象关于直线对称，又是奇函数，因此它也是周期函数，且， ，∴，∴，即，解得.考点：函数的奇偶性、周期性.【高考再现】1.【2016高考新课标2理数】已知函数满足，若函数与图像的交点为则（）（A）0（B）（C）（D）【答案】C2.【2016高考山东理数】已知函数f(x)的定义域为R.当x<0时，；当时，；当时，.则f(6)=（）（A）−2（B）−1（C）0（D）2【答案】D考点：1.函数的奇偶性与周期性；2.分段函数.【名师点睛】本题主要考查分段函数的概念、函数的奇偶性与周期性，是高考常考知识内容.本题具备一定难度.解答此类问题，关键在于利用分段函数的概念，发现周期函数特征，进行函数值的转化.本题能较好的考查考生分析问题解决问题的能力、基本计算能力等.3.【2017山东文】已知f(x)是定义在R上的偶函数,且f(x+4)=f(x-2).若当时,,则f(919)=.【答案】4.【2016年高考四川理数】已知函数是定义在R上的周期为2的奇函数，当0＜x＜1时，，则=.【答案】-2【解析】考点：函数的奇偶性和周期性.【名师点睛】本题考查函数的奇偶性，周期性，属于基本题，在求值时，只要把和，利用奇偶性与周期性化为上的函数值即可．5.【2016年高考四川理数】在平面直角坐标系中，当P(x，y)不是原点时，定义P的“伴随点”为；当P是原点时，定义P的“伴随点”为它自身，平面曲线C上所有点的“伴随点”所构成的曲线定义为曲线C的“伴随曲线”.现有下列命题：①若点A的“伴随点”是点，则点的“伴随点”是点A②单位圆的“伴随曲线”是它自身；③若曲线C关于x轴对称，则其“伴随曲线”关于y轴对称；④一条直线的“伴随曲线”是一条直线.其中的真命题是_____________（写出所有真命题的序列）.【答案】②③【解析】考点：对新定义的理解、函数的对称性.【名师点睛】本题考查新定义问题，属于创新题，符合新高考的走向．它考查学生的阅读理解能力，接受新思维的能力，考查学生分析问题与解决问题的能力，新定义的概念实质上只是一个载体，解决新问题时，只要通过这个载体把问题转化为我们已经熟悉的知识即可．本题新概念“伴...
