第一讲坐标系与参数方程1．已知曲线C1的参数方程为(θ为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝4sin(θ＋)，直线l的直角坐标方程为y＝x.(1)求曲线C1和直线l的极坐标方程；(2)已知直线l分别与曲线C1、曲线C2相交于异于极点的A，B两点，若A，B的极径分别为ρ1，ρ2，求|ρ2－ρ1|的值．解析：(1)曲线C1的参数方程为(θ为参数)，其普通方程为x2＋(y－1)2＝1，极坐标方程为ρ＝2sinθ.∵直线l的直角坐标方程为y＝x，故直线l的极坐标方程为θ＝(ρ∈R)．(2)曲线C1的极坐标方程为ρ＝2sinθ，直线l的极坐标方程为θ＝，将θ＝代入C1的极坐标方程得ρ1＝1，将θ＝代入C2的极坐标方程得ρ2＝4，∴|ρ2－ρ1|＝3.2．(2018·开封模拟)在直角坐标系xOy中，直线C1的参数方程为(t为参数)，圆C2：(x－2)2＋y2＝4，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求C1，C2的极坐标方程和交点A的坐标(非坐标原点)；(2)若直线C3的极坐标方程为θ＝(ρ∈R)，设C2与C3的交点为B(非坐标原点)，求△OAB的最大面积．解析：(1)由(t为参数)得曲线C1的普通方程为y＝xtanα，故曲线C1的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R)．将x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入(x－2)2＋y2＝4，得C2的极坐标方程为ρ＝4cosθ.故交点A的坐标为(4cosα，α)．(2)由题意知，B的极坐标为(2，)．∴S△OAB＝|×2×4cosα×sin(－α)|＝|2sin(2α－)－2|，故△OAB的最大面积是2＋2.3．(2018·长春模拟)以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点P的直角坐标为(1,2)，点C的极坐标为(3，)，若直线l过点P，且倾斜角为，圆C以点C为圆心，3为半径．(1)求直线l的参数方程和圆C的极坐标方程；(2)设直线l与圆C相交于A，B两点，求|PA|·|PB|.解析：(1)由题意得直线l的参数方程为(t为参数)，圆C的极坐标方程为ρ＝6sinθ.(2)由(1)易知圆C的直角坐标方程为x2＋(y－3)2＝9，把代入x2＋(y－3)2＝9，得t2＋(－1)t－7＝0，设点A，B对应的参数分别为t1，t2，∴t1t2＝－7，又|PA|＝|t1|，|PB|＝|t2|，∴|PA|·|PB|＝7.4．(2018·唐山模拟)极坐标系的极点为直角坐标系xOy的原点，极轴为x轴的正半轴，两种坐标系的长度单位相同．已知圆C1的极坐标方程为ρ＝4(cosθ＋sinθ)，P是C1上一动点，点Q在射线OP上且满足|OQ|＝|OP|，点Q的轨迹为C2.(1)求曲线C2的极坐标方程，并化为直角坐标方程；(2)已知直线l的参数方程为(t为参数，0≤φ＜π)，l与曲线C2有且只有一个公共点，求φ的值．解析：(1)设点P，Q的极坐标分别为(ρ0，θ)，(ρ，θ)，则ρ＝ρ0＝·4(cosθ＋sinθ)＝2(cosθ＋sinθ)，点Q的轨迹C2的极坐标方程为ρ＝2(cosθ＋sinθ)，两边同乘以ρ，得ρ2＝2(ρcosθ＋ρsinθ)，C2的直角坐标方程为x2＋y2＝2x＋2y，即(x－1)2＋(y－1)2＝2.(2)将l的参数方程代入曲线C2的直角坐标方程，得(tcosφ＋1)2＋(tsinφ－1)2＝2，即t2＋2(cosφ－sinφ)t＝0，t1＝0，t2＝2(sinφ－cosφ)，由直线l与曲线C2有且只有一个公共点，得sinφ－cosφ＝0，因为0≤φ＜π，所以φ＝.
