限时检测提速练(四)小题考法——三角恒等变换与解三角形1．(2018·湖南联考)已知θ的始边与x轴非负半轴重合，终边上存在点P(－1，a)且sinθ＝，则a＝()A．－1B．1C．－D．解析：选Bsinθ＝＝，解得a＝1．2．(2018·攀枝花一模)若cos＝，且－≤α≤，则sin2α的值为()A．－B．－C．D．解析：选A由题意，根据诱导公式得cos＝－sinα＝⇒sinα＝－，又因为sinα＜0，所以－＜α＜0，所以cosα＝，所以sin2α＝2sinαcosα＝2××＝－，故选A．3．(2018·邯郸一模)△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知absinC＝20sinB，a2＋c2＝41，且8cosB＝1，则b＝()A．6B．4C．3D．7解析：选A因为absinC＝20sinB，所以abc＝20b，ac＝20，∴b＝＝＝6.选A．4．(2018·济南一模)若sin＝，A∈，则sinA的值为()A．B．C．或D．解析：选B A∈，∴A＋∈，所以cos＜0，且cos＝－＝－，所以sinA＝sin＝sincos－cossin＝，选B．5.(2018·湖北统考)已知α∈，cos＝，则sinα的值等于()A．B．C．D．－解析：选C因为α∈，所以＋α∈，由cos＝，得sin＝＝，则sinα＝sin＝sincos－cossin＝×－×＝，故选C．6．(2018·潍坊二模)已知α∈，tan(α－π)＝－，则cos＝()A．B．－C．D．－解析：选B α∈，tan(α－π)＝－，∴tanα＝－，即＝－， sin2α＋cos2α＝1，∴sinα＝，cosα＝－，∴cos＝(cosα＋sinα)＝×＝－，故选B．7．(2018·河南联考)已知锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b2＝a(a＋c)，则的取值范围是()A．B．C．D．解析：选C b2＝a2＋c2－2accosB，b2＝a(a＋c)∴ac＝c2－2accosB，∴a＝c－2acosB，∴sinA＝sinC－2sinAcosB＝sin(A＋B)－2sinAcosB＝sin(B－A)， △ABC为锐角三角形，∴A＝B－A，∴B＝2A． 0＜A＜，0＜B＝2A＜，0＜π－A－B＝π－3A＜，∴＜A＜．∴＝sinA∈．8．(2018·茂名联考)在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC的面积为S，且4S＝(a＋b)2－c2，则sin＝()A．1B．－C．D．解析：选C S＝absinC，cosC＝，∴2S＝absinC，a2＋b2－c2＝2abcosC，代入已知等式得4S＝(a＋b)2－c2＝a2＋b2－c2＋2ab，即2absinC＝2abcosC＋2ab， ab≠0，∴sinC＝cosC＋1， sin2C＋cos2C＝1，∴(cosC＋1)2＋cos2C＝1．解得：cosC＝－1(不合题意，舍去)，cosC＝0，∴sinC＝1，则sin＝(sinC＋cosC)＝.故选C．9．(2018·豫南联考)已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2sin＝1，且a＝2，则△ABC的面积的最大值为()A．B．C．D．2解析：选Bsin＝，－＝，A＝，由于a＝2为定值，由余弦定理得4＝b2＋c2－2bccos，即4＝b2＋c2＋bc.根据基本不等式得4＝b2＋c2＋bc≥2bc＋bc＝3bc，即bc≤，当且仅当b＝c时，等号成立．S△ABC＝bcsinA≤××＝，故选B．10．(2018·湖北统考)锐角△ABC中，角A所对的边为a，△ABC的面积S＝，给出以下结论：①sinA＝2sinB·sinC；②tanB＋tanC＝2tanB·tanC；③tanA＋tanB＋tanC＝tanA·tanB·tanC；④tanA·tanB·tanC有最小值8．其中正确结论的个数为()A．1B．2C．3D．4解析：选D由S＝＝absinC，得a＝2bsinC，又＝，得sinA＝2sinBsinC，故①正确；由sinA＝2sinBsinC，得sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC＝2sinBsinC，两边同时除以cosBcosC，可得tanB＋tanC＝2tanBtanC，故②正确；由tan(A＋B)＝且tan(A＋B)＝tan(π－C)＝－tanC，所以＝－tanC，整理移项得tanA＋tanB＋tanC＝2tanAtanBtanC，故③正确；由tanB＋tanC＝2tanBtanC，tanA＝－tan(B＋C)＝－，且tanA，tanB，tanC都是正数，得tanAtanBtanC＝·tanBtanC＝·tanBtanC＝，设m＝tanBtanC－1，则m＞0，tanAtanBtanC＝＝2＋4≥4＋2×2＝8，当且仅当m＝tanBtanC－1＝1，即tanBtanC＝2时取“＝”，此时tanBtanC＝2，tanB＋tanC＝4，tanA＝4所以tanAtanBtanC的最小值是8，故④正确，故选D．11．(2018·六安模拟)若tanα＝3，α∈，则cos＝____．解析：由tanα＝3，可得＝3.又sin2α＋cos2α＝1，结合α∈，可得sinα＝，cosα＝，∴cos＝(cosα＋sinα)＝．答案：12．(2018·K12联盟联考)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若＝2sinC，则∠C的大小为____．...
